ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 7 / вариант 2 - 6

6. 6) Дана функция $y = x^2 + 2$ при $x \le 0$. **1. Исследование функции на обратимость** * Область определения функции: $$ D(y) = (-\infty; 0] $$ * Область значений: так как $x^2 \ge 0$ при всех действительных $x$, то $x^2 + 2 \ge 2$. Значит, $$ E(y) = [2; +\infty) $$ * На промежутке $(-\infty; 0]$ функция $y = x^2 + 2$ непрерывна и строго убывает, поэтому она принимает каждое своё значение ровно один раз. Следовательно, на данном промежутке функция обратима. **2. Нахождение формулы обратной функции** Выразим переменную $x$ через $y$: $$ x^2 = y - 2 $$ Так как по условию $x \le 0$, выбираем корень со знаком «минус»: $$ x = -\sqrt{y - 2} $$ Поменяем местами переменные $x$ и $y$: $$ y = -\sqrt{x - 2} $$ **3. Свойства обратной функции** * Областью определения обратной функции является область значений исходной функции: $$ D = [2; +\infty) $$ * Областью значений обратной функции является область определения исходной функции: $$ E = (-\infty; 0] $$ График обратной функции симметричен графику исходной функции относительно прямой $y = x$. **Ответ:** $y = -\sqrt{x - 2}$ при $x \ge 2$ (область значений $y \le 0$).