ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 7 / вариант 2 - 7

**7.** **6)** Дана функция: $$ y = -(x + 1)^2 \quad \text{при} \quad x \leq -1 $$ Найдем функцию, обратную к данной, а также её область определения и область значений. 1. **Область определения и область значений исходной функции:** По условию область определения функции: $$ D(f) = (-\infty; -1] $$ При $x \le -1$ выражение $x + 1 \le 0$, следовательно, $(x + 1)^2 \ge 0$, а $-(x + 1)^2 \le 0$. Так как функция $y = -(x + 1)^2$ непрерывна и строго возрастает на промежутке $(-\infty; -1]$ от $-\infty$ до $0$, её область значений: $$ E(f) = (-\infty; 0] $$ Поскольку функция монотонна на всей области определения, она обратима. 2. **Выражение переменной $x$ через $y$:** $$ y = -(x + 1)^2 $$ Умножим обе части уравнения на $-1$: $$ -y = (x + 1)^2 $$ Извлечем арифметический квадратный корень из обеих частей (при $y \le 0$ выражение $-y \ge 0$): $$ \sqrt{-y} = |x + 1| $$ Так как $x \le -1$, то $x + 1 \le 0$, откуда $|x + 1| = -(x + 1)$. Получаем: $$ \sqrt{-y} = -(x + 1) $$ $$ x + 1 = -\sqrt{-y} $$ $$ x = -1 - \sqrt{-y} $$ 3. **Запись обратной функции:** Поменяв местами переменные $x$ и $y$, получаем формулу обратной функции: $$ y = -1 - \sqrt{-x} $$ Областью определения обратной функции является область значений исходной функции, а областью значений — область определения исходной функции: $$ D(y) = (-\infty; 0] $$ $$ E(y) = (-\infty; -1] $$ **Ответ:** $$ y = -1 - \sqrt{-x}, \quad D(y) = (-\infty; 0], \quad E(y) = (-\infty; -1] $$