ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 5 / вариант 2 - 31

Упростим выражение: $$ \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{\left(a^2(a-b)^2\right)^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{(a - b)^{\frac{1}{3}}} \cdot a^{\frac{2}{3}} $$ 1. Запишем корни в виде степеней с дробным показателем: $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}$. 2. Преобразуем знаменатель первой дроби, используя свойство степени произведения $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$ и степени степени $(x^n)^m = x^{nm}$: $$ \left(a^2(a-b)^2\right)^{\frac{1}{3}} = \left(a^2\right)^{\frac{1}{3}} \cdot \left((a-b)^2\right)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{2}{3}} $$ 3. Запишем произведение в виде единой дроби: $$ \frac{\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} (a-b)^{\frac{2}{3}} \cdot (a - b)^{\frac{1}{3}}} $$ 4. Сократим числитель и знаменатель на $a^{\frac{2}{3}}$, а в знаменателе перемножим степени с одинаковым основанием: $$ (a-b)^{\frac{2}{3}} \cdot (a - b)^{\frac{1}{3}} = (a-b)^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = (a-b)^1 = a-b $$ Получаем: $$ \frac{\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)}{a - b} $$ 5. Разложим выражение $a - b$ в знаменателе по формуле разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = a^{\frac{1}{3}}$, $y = b^{\frac{1}{3}}$: $$ a - b = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3 - \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^3 = \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right) $$ 6. Подставим разложение в дробь и сократим на общий множитель $\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)$: $$ \frac{\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)}{\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)} = \frac{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} $$ Записав ответ через корни, получаем: $$ \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}} $$ Ответ: $\dfrac{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}$ (или $\dfrac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}$).