ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 5 / вариант 2 - 32

32. Упростим выражение: $$a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} + \frac{(1 - a)\left(1 - a^{-\frac{1}{2}}\right)}{\sqrt{a}}$$ Выражение определено при $a > 0$, так как переменная содержится под знаком квадратного корня, в том числе в знаменателе дроби, и возводится в степень с отрицательным дробным показателем. 1. Заменим корень в знаменателе степенью с дробным показателем: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$. 2. Раскроем скобки в числителе дроби, применяя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$(1 - a)\left(1 - a^{-\frac{1}{2}}\right) = 1 \cdot 1 - 1 \cdot a^{-\frac{1}{2}} - a \cdot 1 + a \cdot a^{-\frac{1}{2}} = 1 - a^{-\frac{1}{2}} - a + a^{1 - \frac{1}{2}} = 1 - a^{-\frac{1}{2}} - a + a^{\frac{1}{2}}$$ 3. Разделим полученный числитель почленно на знаменатель $a^{\frac{1}{2}}$: $$\frac{1 - a^{-\frac{1}{2}} - a + a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{-\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{a^{\frac{1}{2}}} + \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} = a^{-\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} - a^{1 - \frac{1}{2}} + 1 = a^{-\frac{1}{2}} - a^{-1} - a^{\frac{1}{2}} + 1$$ 4. Подставим преобразованную дробь в исходное выражение и приведем подобные слагаемые: $$a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} + \left(a^{-\frac{1}{2}} - a^{-1} - a^{\frac{1}{2}} + 1\right) = \left(a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}\right) + \left(a^{-\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}\right) - a^{-1} + 1$$ $$= 2a^{-\frac{1}{2}} - a^{-1} + 1 = 1 + \frac{2}{\sqrt{a}} - \frac{1}{a} = \frac{a + 2\sqrt{a} - 1}{a}$$ Ответ: $1 + 2a^{-\frac{1}{2}} - a^{-1}$ (или $\frac{a + 2\sqrt{a} - 1}{a}$).