ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 5 / вариант 2 - 30

Упростим выражение: $$ \frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} $$ Применим формулы разности и суммы кубов к числителям дробей, представив $a = (\sqrt[3]{a})^3$ и $b = (\sqrt[3]{b})^3$: 1. Разложим числитель первой дроби по формуле разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$: $$ a - b = (\sqrt[3]{a})^3 - (\sqrt[3]{b})^3 = (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}) $$ Тогда первая дробь принимает вид: $$ \frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} = \frac{(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} $$ 2. Разложим числитель второй дроби по формуле суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$: $$ a + b = (\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3 = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}) $$ Тогда вторая дробь принимает вид: $$ \frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} = \frac{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} $$ 3. Выполним вычитание полученных выражений: $$ (\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}) - (\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}) = \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} - \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} - \sqrt[3]{b^2} = 2\sqrt[3]{ab} $$ Ответ: $2\sqrt[3]{ab}$.