ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 4 / вариант 2 - 35

В дидактических материалах (глава 1, § 4, вариант 2, № 35) в условии пункта б) содержится выражение с корнями: символ «б)» в электронных версиях часто ошибочно распознаётся как цифра «6», а корень четвёртой степени $\sqrt[4]{a}$ в знаменателе первой дроби — как трёхэтажная дробь $\frac{4}{\sqrt{a}}$. Ниже приведено решение для стандартного задания из учебного пособия (пункт б), а также расчёт по буквальной записи условия. --- ### Решение задания из учебника (№ 35, пункт б) Требуется найти разность при $a > 0$: $$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}} - \frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a}} $$ 1. Перейдём от корней к степеням с дробным показателем, используя формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}$. 2. Упростим первую дробь, применив свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$: $$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}} = a^{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a} $$ 3. Упростим вторую дробь: $$ \frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a}} = \frac{a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}} = a^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{a^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{a}} $$ 4. Найдём разность полученных выражений и приведём их к общему знаменателю: $$ \sqrt[4]{a} - \frac{1}{\sqrt[4]{a}} = \frac{\sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{a} - 1}{\sqrt[4]{a}} = \frac{(\sqrt[4]{a})^2 - 1}{\sqrt[4]{a}} = \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt[4]{a}} $$ --- ### Решение по буквальной записи выражения Если вычислять выражение в точности так, как записано ($6 \cdot \frac{\sqrt{a}}{\frac{4}{\sqrt{a}}} - \frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a}}$): 1. Упростим первую дробь: деление на $\frac{4}{\sqrt{a}}$ заменим умножением на обратную дробь $\frac{\sqrt{a}}{4}$: $$ \frac{\sqrt{a}}{\frac{4}{\sqrt{a}}} = \sqrt{a} \cdot \frac{\sqrt{a}}{4} = \frac{(\sqrt{a})^2}{4} = \frac{a}{4} $$ Тогда первое слагаемое равно: $$ 6 \cdot \frac{a}{4} = \frac{6a}{4} = \frac{3a}{2} $$ 2. Вторая дробь упрощается аналогично: $$ \frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a}} = a^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}} = a^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{a}} $$ 3. Найдём разность: $$ \frac{3a}{2} - \frac{1}{\sqrt[4]{a}} = \frac{3a\sqrt[4]{a} - 2}{2\sqrt[4]{a}} $$ Ответ: $\frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt[4]{a}}$ (или в степенном виде $a^{\frac{1}{4}} - a^{-\frac{1}{4}}$); при буквальном прочтении условия: $\frac{3a\sqrt[4]{a} - 2}{2\sqrt[4]{a}}$.