ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 4 / вариант 2 - 38

38. Выполним преобразование заданного выражения: $$ \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{ab}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} : \frac{\sqrt[6]{ab}}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} $$ 1. Представим корни третьей степени через корни шестой степени, учитывая, что $a > 0$ и $b > 0$: $\sqrt[3]{a} = \sqrt[6]{a^2} = (\sqrt[6]{a})^2$, $\sqrt[3]{b} = \sqrt[6]{b^2} = (\sqrt[6]{b})^2$, $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}$. 2. Разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители: — в числителе вынесем общий множитель $\sqrt[6]{a}$: $$ \sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{ab} = (\sqrt[6]{a})^2 + \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{a}(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}); $$ — в знаменателе применим формулу разности квадратов: $$ \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} = (\sqrt[6]{a})^2 - (\sqrt[6]{b})^2 = (\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}). $$ 3. Заменим деление дробей умножением на дробь, обратную делителю: $$ \frac{\sqrt[6]{a}(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})}{(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})} \cdot \frac{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}}{\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}} $$ 4. Сократим полученную дробь на ненулевые множители $(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})$, $(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})$ и $\sqrt[6]{a}$: $$ \frac{\sqrt[6]{a}}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} \cdot \frac{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}}{\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}} = \frac{1}{\sqrt[6]{b}} $$ Ответ: $\frac{1}{\sqrt[6]{b}}$