ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 4 / вариант 2 - 36

36. Упростим данное выражение: $$ 6^{\frac{6}{\sqrt[3]{a}}} + \frac{1 - 6\sqrt{a}}{6\sqrt{a}} $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ)** Выражение содержит арифметический квадратный корень $\sqrt{a}$ и корень третьей степени $\sqrt[3]{a}$ в знаменателях: * подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным: $a \ge 0$; * знаменатель дроби не может быть равен нулю: $6\sqrt{a} \neq 0 \implies a \neq 0$; * знаменатель дроби в показателе степени не равен нулю: $\sqrt[3]{a} \neq 0 \implies a \neq 0$. Таким образом, ОДЗ: $a > 0$. **2. Преобразование второго слагаемого** Разделим почленно числитель дроби на её знаменатель: $$ \frac{1 - 6\sqrt{a}}{6\sqrt{a}} = \frac{1}{6\sqrt{a}} - \frac{6\sqrt{a}}{6\sqrt{a}} = \frac{1}{6\sqrt{a}} - 1 $$ Избавимся от иррациональности в знаменателе первой дроби, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{a}$: $$ \frac{1 \cdot \sqrt{a}}{6\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} - 1 = \frac{\sqrt{a}}{6a} - 1 $$ Или с помощью степени с дробным показателем: $$ \frac{1}{6}a^{-\frac{1}{2}} - 1 $$ **3. Преобразование первого слагаемого** Запишем корень третьей степени в виде степени с рациональным показателем ($\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$): $$ \frac{6}{\sqrt[3]{a}} = \frac{6}{a^{\frac{1}{3}}} = 6a^{-\frac{1}{3}} $$ Тогда первое слагаемое принимает вид: $$ 6^{\frac{6}{\sqrt[3]{a}}} = 6^{6a^{-\frac{1}{3}}} $$ **4. Запись общего результата** Подставим преобразованные части в исходное выражение: $$ 6^{\frac{6}{\sqrt[3]{a}}} + \frac{1 - 6\sqrt{a}}{6\sqrt{a}} = 6^{\frac{6}{\sqrt[3]{a}}} + \frac{\sqrt{a}}{6a} - 1 $$ Ответ: $6^{\frac{6}{\sqrt[3]{a}}} + \frac{\sqrt{a}}{6a} - 1$ (или в виде степеней: $6^{6a^{-\frac{1}{3}}} + \frac{1}{6}a^{-\frac{1}{2}} - 1$) при $a > 0$.