ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 4 / вариант 2 - 37

7) Упростим выражение: $$ \frac{b}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} + \frac{\sqrt[6]{b^5}}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} $$ Выражение имеет смысл при $a \ge 0$, $b \ge 0$ и $a \neq b$. 1. Разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов: Так как $\sqrt[3]{a} = (\sqrt[6]{a})^2$ и $\sqrt[3]{b} = (\sqrt[6]{b})^2$, получаем: $$ \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} = (\sqrt[6]{a})^2 - (\sqrt[6]{b})^2 = (\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}) $$ 2. Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}) = \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}$. Дополнительный множитель для второй дроби равен $(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})$: $$ \frac{b}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} + \frac{\sqrt[6]{b^5}(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})}{(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})} $$ 3. Раскроем скобки в числителе второй дроби: $$ \sqrt[6]{b^5} \cdot \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b^5} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{ab^5} + \sqrt[6]{b^6} $$ Поскольку $b \ge 0$, то $\sqrt[6]{b^6} = b$. 4. Сложим дроби с одинаковыми знаменателями: $$ \frac{b + \sqrt[6]{ab^5} + b}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} = \frac{2b + \sqrt[6]{ab^5}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} $$ При необходимости в числителе можно вынести общий множитель $\sqrt[6]{b^5}$: $$ \frac{\sqrt[6]{b^5}(\sqrt[6]{a} + 2\sqrt[6]{b})}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} $$ Ответ: $\frac{2b + \sqrt[6]{ab^5}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}$