ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 4 / вариант 2 - 34

34. **6)** Упростить выражение: $$\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{a}+1}$$ Область допустимых значений: $a \ge 0$. Выразим все корни через корень шестой степени из $a$: $$\sqrt{a} = \left(\sqrt[6]{a}\right)^3$$ $$\sqrt[3]{a} = \left(\sqrt[6]{a}\right)^2$$ Для удобства выполним замену переменной: пусть $t = \sqrt[6]{a}$, где $t \ge 0$. Тогда выражение принимает вид: $$\frac{t^3 - 1}{t^2 + t + 1}$$ Разложим числитель на множители по формуле разности кубов $t^3 - 1 = (t - 1)(t^2 + t + 1)$: $$\frac{(t - 1)(t^2 + t + 1)}{t^2 + t + 1}$$ Сократим дробь на общий множитель $(t^2 + t + 1 \neq 0)$: $$t - 1$$ Вернемся к переменной $a$: $$\sqrt[6]{a} - 1$$ Ответ: $\sqrt[6]{a} - 1$.