ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 4 / вариант 2 - 33

**33.** **6)** Упростим дробь: $$ \frac{\sqrt[6]{a} + 1}{\sqrt{a} + 1} $$ Выражение определено при $a \ge 0$. Представим $\sqrt{a}$ как степень с основанием $\sqrt[6]{a}$: $$ \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} = \left(a^{\frac{1}{6}}\right)^3 = (\sqrt[6]{a})^3 $$ Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ к знаменателю дроби, где $x = \sqrt[6]{a}$, а $y = 1$: $$ \sqrt{a} + 1 = (\sqrt[6]{a})^3 + 1^3 = (\sqrt[6]{a} + 1)((\sqrt[6]{a})^2 - \sqrt[6]{a} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt[6]{a} + 1)(\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{a} + 1) $$ Подставим полученное разложение в исходную дробь и сократим её на $(\sqrt[6]{a} + 1)$: $$ \frac{\sqrt[6]{a} + 1}{\sqrt{a} + 1} = \frac{\sqrt[6]{a} + 1}{(\sqrt[6]{a} + 1)(\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{a} + 1)} = \frac{1}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{a} + 1} $$ Ответ: $\dfrac{1}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{a} + 1}$.