ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 4 / вариант 2 - 32

**32.** 6) Сократим дробь: $$ \frac{1 - \sqrt[3]{a}}{\sqrt[6]{a} + 1} $$ Выражение определено при $a \ge 0$, так как под знаком корня чётной степени должно стоять неотрицательное число, при этом знаменатель $\sqrt[6]{a} + 1 \ge 1 \neq 0$. Представим кубический корень как квадрат корня шестой степени, используя свойства степени: $$ \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{6}} = \left(a^{\frac{1}{6}}\right)^2 = \left(\sqrt[6]{a}\right)^2 $$ Разложим числитель дроби на множители по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $$ 1 - \sqrt[3]{a} = 1^2 - \left(\sqrt[6]{a}\right)^2 = \left(1 - \sqrt[6]{a}\right)\left(1 + \sqrt[6]{a}\right) $$ Подставим разложение в исходную дробь: $$ \frac{1 - \sqrt[3]{a}}{\sqrt[6]{a} + 1} = \frac{\left(1 - \sqrt[6]{a}\right)\left(1 + \sqrt[6]{a}\right)}{\sqrt[6]{a} + 1} $$ Сократим числитель и знаменатель дроби на общий множитель $\left(\sqrt[6]{a} + 1\right)$: $$ \frac{\left(1 - \sqrt[6]{a}\right)\left(1 + \sqrt[6]{a}\right)}{\sqrt[6]{a} + 1} = 1 - \sqrt[6]{a} $$ Ответ: $1 - \sqrt[6]{a}$ (при $a \ge 0$).