ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 4 / вариант 2 - 31

31. 5) Упростим выражение: $$ \frac{1 - \sqrt[4]{a}}{\frac{1}{1 - \sqrt{a}}} $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** * Подкоренные выражения корней чётной степени должны быть неотрицательными: $a \ge 0$. * Знаменатель внутренней дроби не должен быть равен нулю: $1 - \sqrt{a} \ne 0 \implies \sqrt{a} \ne 1 \implies a \ne 1$. * Знаменатель всей составной дроби $\frac{1}{1 - \sqrt{a}} \ne 0$, что выполняется при всех $a \ge 0$, $a \ne 1$. Таким образом, ОДЗ: $a \ge 0$, $a \ne 1$. **2. Преобразование выражения:** Заменим деление на дробь умножением на обратную ей дробь: $$ \frac{1 - \sqrt[4]{a}}{\frac{1}{1 - \sqrt{a}}} = (1 - \sqrt[4]{a}) \cdot (1 - \sqrt{a}) $$ Разложим множитель $(1 - \sqrt{a})$ по формуле разности квадратов, так как $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$: $$ 1 - \sqrt{a} = 1^2 - (\sqrt[4]{a})^2 = (1 - \sqrt[4]{a})(1 + \sqrt[4]{a}) $$ Подставим это разложение в выражение: $$ (1 - \sqrt[4]{a}) \cdot (1 - \sqrt[4]{a})(1 + \sqrt[4]{a}) = (1 - \sqrt[4]{a})^2 (1 + \sqrt[4]{a}) $$ При необходимости результат также можно записать, раскрыв скобки: $$ (1 - \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt{a}) = 1 - \sqrt{a} - \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt{a} = 1 - \sqrt[4]{a} - \sqrt{a} + \sqrt[4]{a^3} $$ Ответ: $(1 - \sqrt[4]{a})^2 (1 + \sqrt[4]{a})$ (или $1 - \sqrt[4]{a} - \sqrt{a} + \sqrt[4]{a^3}$) при $a \ge 0$, $a \ne 1$.