ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 4 / вариант 2 - 24

24. Упростим выражение: $$ \sqrt[6]{(4 + 5x)^6} - \sqrt[4]{(7x - 1)^4} \quad \text{при } -\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 0 $$ 1. Применим свойство корня чётной степени $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$: $$ \sqrt[6]{(4 + 5x)^6} = |4 + 5x| $$ $$ \sqrt[4]{(7x - 1)^4} = |7x - 1| $$ Тогда исходное выражение принимает вид: $$ |4 + 5x| - |7x - 1| $$ 2. Определим знаки выражений под знаками модулей при условии $-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 0$: * Для выражения $4 + 5x$: Умножим двойное неравенство $-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 0$ на $5$: $$ -\frac{5}{2} \leqslant 5x \leqslant 0 $$ Прибавим $4$: $$ 4 - 2{,}5 \leqslant 4 + 5x \leqslant 4 $$ $$ 1{,}5 \leqslant 4 + 5x \leqslant 4 $$ Так как $4 + 5x > 0$, то по определению модуля: $$ |4 + 5x| = 4 + 5x $$ * Для выражения $7x - 1$: Умножим двойное неравенство $-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 0$ на $7$: $$ -\frac{7}{2} \leqslant 7x \leqslant 0 $$ Вычтем $1$: $$ -3{,}5 - 1 \leqslant 7x - 1 \leqslant -1 $$ $$ -4{,}5 \leqslant 7x - 1 \leqslant -1 $$ Так как $7x - 1 < 0$, то по определению модуля: $$ |7x - 1| = -(7x - 1) = 1 - 7x $$ 3. Подставим раскрытые модули в выражение и приведём подобные слагаемые: $$ |4 + 5x| - |7x - 1| = (4 + 5x) - (1 - 7x) = 4 + 5x - 1 + 7x = 12x + 3 $$ Ответ: $12x + 3$