ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 4 / вариант 2 - 26

26. В данном задании (подпункт 6) требуется доказать справедливость равенства: $$ \sqrt[8]{a^4} = \sqrt{a}, \quad \text{при } a \geqslant 0 $$ *(Цифра $6$ перед корнем в условии соответствует номеру подпункта $6)$).* **Доказательство:** 1. Рассмотрим левую часть равенства: $$ \sqrt[8]{a^4} $$ 2. Воспользуемся основным свойством корня: для любого неотрицательного числа $a$ и натуральных чисел $n$, $m$ и $k$ справедливо равенство: $$ \sqrt[n \cdot k]{a^{m \cdot k}} = \sqrt[n]{a^m} $$ Показатель степени корня ($8$) и показатель степени подкоренного выражения ($4$) имеют общий делитель $4$. Разделим оба показателя на $4$, учитывая, что $a \geqslant 0$: $$ \sqrt[8]{a^4} = \sqrt[2 \cdot 4]{a^{1 \cdot 4}} = \sqrt{a} $$ 3. Левая часть тождественно равна правой части: $$ \sqrt{a} = \sqrt{a} $$ Равенство доказано. --- *Примечание:* если цифру $6$ рассматривать как числовой множитель в уравнении $6\sqrt[8]{a^4} = \sqrt{a}$ при условии $a \geqslant 0$: $$ 6\sqrt{a} = \sqrt{a} $$ $$ 5\sqrt{a} = 0 $$ $$ \sqrt{a} = 0 \implies a = 0 $$ Ответ: равенство верно при всех $a \geqslant 0$ (при трактовке как уравнение: $a = 0$).