ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / квадратные уравнения / вариант 1 - 16

Решим уравнение относительно переменной $x$ при всех возможных действительных значениях параметра $a$: $$ (a^2 - 9)x^2 - 2ax + 1 = 0 $$ Рассмотрим два случая в зависимости от старшего коэффициента $A = a^2 - 9$. **1. Коэффициент при $x^2$ равен нулю:** $$ a^2 - 9 = 0 \iff a = \pm 3 $$ * При $a = 3$ уравнение принимает линейный вид: $$ 0 \cdot x^2 - 2 \cdot 3x + 1 = 0 $$ $$ -6x + 1 = 0 \iff 6x = 1 \iff x = \frac{1}{6} $$ * При $a = -3$ уравнение также становится линейным: $$ 0 \cdot x^2 - 2 \cdot (-3)x + 1 = 0 $$ $$ 6x + 1 = 0 \iff 6x = -1 \iff x = -\frac{1}{6} $$ **2. Коэффициент при $x^2$ отличен от нуля:** $$ a^2 - 9 \ne 0 \iff a \ne \pm 3 $$ В этом случае уравнение является квадратным. Так как второй коэффициент является чётным ($B = -2a$), найдем четверть дискриминанта ($D_1$): $$ D_1 = (-a)^2 - (a^2 - 9) \cdot 1 = a^2 - a^2 + 9 = 9 $$ Поскольку $D_1 = 9 > 0$ при любых значениях $a$, квадратное уравнение всегда имеет два различных корня: $$ x_{1, 2} = \frac{-(-a) \pm \sqrt{D_1}}{a^2 - 9} = \frac{a \pm 3}{a^2 - 9} $$ Разложим знаменатель по формуле разности квадратов и упростим выражения для каждого корня: $$ x_1 = \frac{a + 3}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{1}{a - 3} $$ $$ x_2 = \frac{a - 3}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{1}{a + 3} $$ **Ответ:** * при $a = 3$: $x = \frac{1}{6}$; * при $a = -3$: $x = -\frac{1}{6}$; * при $a \ne \pm 3$: $x_1 = \frac{1}{a - 3}$, $x_2 = \frac{1}{a + 3}$.