Локальная и интегральная теоремы муавра-лапласа

Теоремы Муавра-Лапласа позволяют приближенно вычислить вероятность того, что в $n$ независимых испытаниях Бернулли (где вероятность успеха $p$, а неудачи $q = 1-p$) событие произойдет определенное количество раз. ### 1. Локальная теорема Муавра-Лапласа Используется для оценки вероятности того, что событие наступит ровно $k$ раз. Если $n$ достаточно велико, то: $$P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \cdot \varphi(x)$$ Где: - $\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$ — функция Гаусса (плотность стандартного нормального распределения). - $x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}}$. ### 2. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Используется для оценки вероятности того, что событие наступит в пределах от $k_1$ до $k_2$ раз. $$P_n(k_1 \le k \le k_2) \approx \Phi(x_2) - \Phi(x_1)$$ Где: - $\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^x e^{-\frac{t^2}{2}} dt$ — функция Лапласа (функция стандартного нормального распределения). - $x_1 = \frac{k_1 - np}{\sqrt{npq}}$. - $x_2 = \frac{k_2 - np}{\sqrt{npq}}$. Обе теоремы работают тем точнее, чем больше значение $n$. Обычно их применяют при $npq > 10$.