Вычислите (3^(21/4) : 3^(5/4))^(1/2).

Давай решим эти примеры по порядку: 1. Вычислите $\left(3^{\frac{21}{4}} : 3^{\frac{5}{4}}\right)^{\frac{1}{2}}$: При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: $\frac{21}{4} - \frac{5}{4} = \frac{16}{4} = 4$. Получаем $\left(3^4\right)^{\frac{1}{2}} = 3^{4 \cdot \frac{1}{2}} = 3^2 = 9$. **Ответ: 9** 2. Вычислите $\sqrt[3]{250} \cdot \sqrt[3]{4}$: Используем свойство корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$: $\sqrt[3]{250 \cdot 4} = \sqrt[3]{1000} = 10$. **Ответ: 10** 3. Решите неравенство $\frac{x^2 - 25}{x + 3} \leq 0$: $\frac{(x - 5)(x + 5)}{x + 3} \leq 0$. Найдем нули числителя: $x = 5, x = -5$. Знаменатель не равен нулю: $x \neq -3$. Метод интервалов: - $(-\infty, -5]$: берем $x = -6 \rightarrow \frac{(-11)(-1)}{-3} = \frac{11}{-3} < 0$ (подходит). - $[-5, -3)$: берем $x = -4 \rightarrow \frac{(-9)(1)}{-1} = 9 > 0$ (не подходит). - $(-3, 5]$: берем $x = 0 \rightarrow \frac{-25}{3} < 0$ (подходит). - $[5, +\infty)$: берем $x = 6 \rightarrow \frac{1}{9} > 0$ (не подходит). **Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup (-3, 5]$** 4. Вычислите $\log_2 40 - \log_2 2,5$: По свойству логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$: $\log_2 \left(\frac{40}{2,5}\right) = \log_2 16 = 4$, так как $2^4 = 16$. **Ответ: 4** 5. Решите уравнение $\sqrt{3x + 4} = x$: Возведем обе части в квадрат: $3x + 4 = x^2$. $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант: $D = 9 - 4(-4) = 25$. $x = \frac{3 \pm 5}{2}$. $x_1 = 4, x_2 = -1$. Проверка (обязательна для иррациональных уравнений): - Если $x = 4$: $\sqrt{3(4)+4} = \sqrt{16} = 4$ (верно). - Если $x = -1$: $\sqrt{3(-1)+4} = \sqrt{1} = 1 \neq -1$ (не подходит). **Ответ: 4** 6. Решите неравенство $4^{3x-2} > 256$: $4^{3x-2} > 4^4$. Так как $4 > 1$, переходим к неравенству показателей: $3x - 2 > 4$. $3x > 6 \Rightarrow x > 2$. **Ответ: $x > 2$**