государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Привет! Давай разберем твои задания по математике. ### №1 Вычислить: $\frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}}}{5^2}$ При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: $5^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = 5^{\frac{2}{4}} = 5^{\frac{1}{2}}$ Теперь делим: $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{5^2} = 5^{\frac{1}{2} - 2} = 5^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{5^{1,5}} = \frac{1}{5 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{25}$. ### №2 Решить уравнения: * $\sqrt{x+1} = 3 \Rightarrow x+1=9 \Rightarrow x=8$. * $3^{x+1} = 27^{x-1} \Rightarrow 3^{x+1} = (3^3)^{x-1} \Rightarrow x+1 = 3x-3 \Rightarrow 4 = 2x \Rightarrow x=2$. * $\log_2(x-5) + \log_2(x+2) = 3$. ОДЗ: $x>5$. $\log_2((x-5)(x+2)) = 3 \Rightarrow x^2-3x-10 = 2^3 \Rightarrow x^2-3x-18=0$. Корни: $x=6, x=-3$. Условию $x>5$ удовлетворяет $x=6$. * $2\sin^2 x + \sin x = 0 \Rightarrow \sin x(2\sin x + 1) = 0$. Или $\sin x = 0 \Rightarrow x=\pi n$, или $\sin x = -0.5 \Rightarrow x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$. ### №3 Решить неравенства: * $3^{x-2} > 9 \Rightarrow 3^{x-2} > 3^2 \Rightarrow x-2 > 2 \Rightarrow x > 4$. * $\log_3(x+2) < 3$. ОДЗ: $x>-2$. $\log_3(x+2) < \log_3 27 \Rightarrow x+2 < 27 \Rightarrow x < 25$. Итог: $x \in (-2; 25)$. ### №4 Инвервалы возрастания и убывания $y=6x-2x^3$: Производная $y' = 6 - 6x^2$. Критические точки: $6(1-x^2)=0 \Rightarrow x=\pm 1$. На интервале $(-\infty, -1)$ производная $<0$ (убывает), на $(-1, 1)$ производная $>0$ (возрастает), на $(1, +\infty)$ производная $<0$ (убывает). ### №5 График функции $y=2x^4 - x^2 + 1$: Функция четная, график симметричен относительно оси $Oy$. Точка минимума при $y' = 8x^3 - 2x = 2x(4x^2-1) = 0$, $x=0, x=\pm 0.5$. ### №6 Площадь боковой поверхности пирамиды DABC: Основание $ABC$ со сторонами $13, 13, 10$. Высота к $BC$ равна $\sqrt{13^2-5^2} = 12$. Площадь основания $S_{осн} = 0.5 \cdot 10 \cdot 12 = 60$. Ребро $AD$ перпендикулярно основанию, $AD=9$. Грани: 1) $\triangle ADC$ (прямоугольный, $AD=9, AC=13, DC=\sqrt{169-81}=\sqrt{88}$): $S = 0.5 \cdot 9 \cdot \sqrt{88} = 9\sqrt{22} \approx 42.2$. 2) $\triangle ADB$ (прямоугольный, $AD=9, AB=13, DB=\sqrt{88}$): $S = 0.5 \cdot 9 \cdot \sqrt{88} = 9\sqrt{22} \approx 42.2$. 3) $\triangle DBC$ ($DC=\sqrt{88}, DB=\sqrt{88}, BC=10$): высота к $BC = \sqrt{88-25} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$. $S = 0.5 \cdot 10 \cdot 3\sqrt{7} = 15\sqrt{7} \approx 39.7$. $S_{бок} = 18\sqrt{22} + 15\sqrt{7} \approx 124.1 \text{ см}^2$.