В автобусах пассажирам выдают билеты с четырехзначным номером, начиная с 1000. На номере 3000 заканчивается рулетка с билетами, кондуктор открывает новую, где нумерация вновь идет сначала. Матрена собирает «счастливые» билеты. «Счастливыми» она называет те, число из первых двух цифр которых кратно 10, число из последних двух цифр которых кратно 4, а весь номер кратен 3. Сколько всего «счастливых» билетов может собрать Матрена из одной рулетки?

Обозначим четырехзначный номер билета как $\overline{abcd}$, где $a, b, c, d$ — цифры. Номера билетов идут от 1000 до 3000. Это значит, что первая цифра $a$ может быть 1 или 2 (если $a=3$, то $b,c,d$ должны быть 0, то есть 3000 — это тоже билет). Разберем условия: 1. Число из первых двух цифр $\overline{ab}$ кратно 10. Это значит, что цифра $b$ должна быть равна 0. Возможные значения $\overline{ab}$ при $a \in \{1, 2, 3\}$: 10, 20, 30. 2. Число из последних двух цифр $\overline{cd}$ кратно 4. $\overline{cd} \in \{00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96\}$. Всего 25 вариантов для $\overline{cd}$. 3. Весь номер $N = 1000a + 100b + \overline{cd}$ кратен 3. Так как $b=0$, $N = 1000a + \overline{cd}$. Сумма цифр числа $N$ должна делиться на 3. Сумма цифр $S = a + 0 + c + d = a + (c+d)$. Так как $N$ кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр кратна 3, нам нужно, чтобы $(a + c + d) \equiv 0 \pmod 3$. Рассмотрим каждый случай для $a$: - Случай 1: $a=1$. Число имеет вид $10\overline{cd}$. Условие $1 + c + d \equiv 0 \pmod 3 \Rightarrow c+d \equiv 2 \pmod 3$. Выпишем подходящие $\overline{cd}$ из списка, где сумма цифр $c+d$ дает остаток 2 при делении на 3 (т.е. $c+d = 2, 5, 8, 11, 14, 17$): 02 (сумма 2) — нет (не делится на 4), 08 (сумма 8) — да, 16 (сумма 7) — нет, 20 (сумма 2) — да, 24 (сумма 6) — нет, 32 (сумма 5) — да, 44 (сумма 8) — да, 56 (сумма 11) — да, 68 (сумма 14) — да, 80 (сумма 8) — да, 92 (сумма 11) — да. Итого для $a=1$: 8 билетов (1008, 1020, 1032, 1044, 1056, 1068, 1080, 1092). - Случай 2: $a=2$. Число имеет вид $20\overline{cd}$. Условие $2 + c + d \equiv 0 \pmod 3 \Rightarrow c+d \equiv 1 \pmod 3$. Подходящие $\overline{cd}$ (сумма цифр $1, 4, 7, 10, 13, 16$): 04 (сумма 4) — да, 16 (сумма 7) — да, 28 (сумма 10) — да, 40 (сумма 4) — да, 52 (сумма 7) — да, 64 (сумма 10) — да, 76 (сумма 13) — да, 88 (сумма 16) — да. Итого для $a=2$: 8 билетов. - Случай 3: $a=3$. Число $3000$. $\overline{ab}=30$ (кратно 10), $\overline{cd}=00$ (кратно 4), $3000$ кратно 3. Подходит. Всего билетов: $8 + 8 + 1 = 17$. Ответ: 17