13-1. Составить закон распределения вероятностей случайной величины — числа попаданий в мишень при трех независимых выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,2.

Для решения воспользуемся формулой Бернулли, так как это серия из независимых испытаний. У нас $n = 3$ (число выстрелов), вероятность успеха $p = 0,2$, вероятность неудачи $q = 1 - 0,2 = 0,8$. Случайная величина $X$ — число попаданий. ### 1. Закон распределения Рассчитаем вероятности для $k = 0, 1, 2, 3$: - $P(X=0) = C_3^0 \cdot 0,2^0 \cdot 0,8^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0,512 = 0,512$ - $P(X=1) = C_3^1 \cdot 0,2^1 \cdot 0,8^2 = 3 \cdot 0,2 \cdot 0,64 = 0,384$ - $P(X=2) = C_3^2 \cdot 0,2^2 \cdot 0,8^1 = 3 \cdot 0,04 \cdot 0,8 = 0,096$ - $P(X=3) = C_3^3 \cdot 0,2^3 \cdot 0,8^0 = 1 \cdot 0,008 \cdot 1 = 0,008$ | $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 | |---|---|---|---|---| | $P$ | 0,512 | 0,384 | 0,096 | 0,008 | ### 2. Числовые характеристики - Математическое ожидание $M[X] = n \cdot p = 3 \cdot 0,2 = 0,6$ - Дисперсия $D[X] = n \cdot p \cdot q = 3 \cdot 0,2 \cdot 0,8 = 0,48$ - СКО $\sigma = \sqrt{D[X]} = \sqrt{0,48} \approx 0,693$ ### 3. Функция распределения $F(x)$ Она задается формулой: $F(x) = \begin{cases} 0, & x \le 0 \\ 0,512, & 0 < x \le 1 \\ 0,896, & 1 < x \le 2 \\ 0,992, & 2 < x \le 3 \\ 1, & x > 3 \end{cases}$ :::div .chart-container @chart-1::: **Ответ:** $M[X]=0,6; D[X]=0,48; \sigma \approx 0,693$.