1) y=x^2+1, y=0, x=-1, x=2

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, равна $\int_{a}^{b} f(x) dx$. Для фигур, ограниченных двумя линиями, площадь равна $\int_{a}^{b} (f_{верх}(x) - f_{низ}(x)) dx$. ### Вариант 1 1) $y=x^2+1, y=0, x=-1, x=2$ $S = \int_{-1}^{2} (x^2+1) dx = [\frac{x^3}{3} + x]_{-1}^{2} = (\frac{8}{3} + 2) - (-\frac{1}{3} - 1) = \frac{14}{3} + \frac{4}{3} = \frac{18}{3} = 6$. 2) $y=x^2, y=-3x$ Точки пересечения: $x^2 = -3x \Rightarrow x^2+3x=0 \Rightarrow x(x+3)=0 \Rightarrow x_1=-3, x_2=0$. $S = \int_{-3}^{0} (-3x - x^2) dx = [-\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{-3}^{0} = 0 - (-\frac{3 \cdot 9}{2} - \frac{-27}{3}) = -(-13.5 + 9) = 4.5$. 3) $y=\frac{1}{2}x^2-4x+10, y=x+2$ Точки пересечения: $\frac{1}{2}x^2-4x+10 = x+2 \Rightarrow \frac{1}{2}x^2-5x+8=0 \Rightarrow x^2-10x+16=0 \Rightarrow D=100-64=36, x_1=2, x_2=8$. $S = \int_{2}^{8} (x+2 - (\frac{1}{2}x^2-4x+10)) dx = \int_{2}^{8} (-\frac{1}{2}x^2+5x-8) dx = [-\frac{x^3}{6} + \frac{5x^2}{2} - 8x]_{2}^{8} = (-\frac{512}{6} + 160 - 64) - (-\frac{8}{6} + 10 - 16) = (-85.33 + 96) - (-1.33 - 6) = 10.67 + 7.33 = 18$. ### Вариант 2 1) $y=0.5x^2+2, y=0, x=1, x=3$ $S = \int_{1}^{3} (0.5x^2+2) dx = [\frac{0.5x^3}{3} + 2x]_{1}^{3} = (4.5 + 6) - (0.166 + 2) = 10.5 - 2.166 = 8.33$. 2) $y=x^2, y=2x+3$ Точки пересечения: $x^2 = 2x+3 \Rightarrow x^2-2x-3=0 \Rightarrow x_1=-1, x_2=3$. $S = \int_{-1}^{3} (2x+3 - x^2) dx = [x^2+3x-\frac{x^3}{3}]_{-1}^{3} = (9+9-9) - (1-3+\frac{1}{3}) = 9 - (-1.66) = 10.67$. 3) $y=x^2-2x+3, y=3x-1$ Точки пересечения: $x^2-2x+3 = 3x-1 \Rightarrow x^2-5x+4=0 \Rightarrow x_1=1, x_2=4$. $S = \int_{1}^{4} (3x-1 - (x^2-2x+3)) dx = \int_{1}^{4} (-x^2+5x-4) dx = [-\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x]_{1}^{4} = (-21.33 + 40 - 16) - (-0.33 + 2.5 - 4) = 2.67 - (-1.83) = 4.5$. ### Вариант 3 1) $y=3x^2+3, y=0, x=-2, x=0$ $S = \int_{-2}^{0} (3x^2+3) dx = [x^3+3x]_{-2}^{0} = 0 - (-8-6) = 14$. 2) $y=x^2, y=x+2$ Точки пересечения: $x^2 = x+2 \Rightarrow x^2-x-2=0 \Rightarrow x_1=-1, x_2=2$. $S = \int_{-1}^{2} (x+2-x^2) dx = [\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{2} = (2+4-\frac{8}{3}) - (0.5-2+\frac{1}{3}) = 3.33 - (-1.17) = 4.5$. 3) $y=\frac{1}{3}x^2-2x+4, y=-x+10$ Точки пересечения: $\frac{1}{3}x^2-2x+4 = -x+10 \Rightarrow \frac{1}{3}x^2-x-6=0 \Rightarrow x^2-3x-18=0 \Rightarrow x_1=-3, x_2=6$. $S = \int_{-3}^{6} (-x+10 - (\frac{1}{3}x^2-2x+4)) dx = \int_{-3}^{6} (-\frac{1}{3}x^2+x+6) dx = [-\frac{x^3}{9} + \frac{x^2}{2} + 6x]_{-3}^{6} = (-24+18+36) - (3+4.5-18) = 30 - (-10.5) = 40.5$.