2) y = x^2, y = 2x + 8

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$ и $y = 2x + 8$, выполним следующие действия: 1. **Построение фигуры**: График $y = x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, вершина в точке $(0,0)$. График $y = 2x + 8$ — это прямая линия. Фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную параболой снизу и прямой сверху. :::div .chart-container @chart-1::: 2. **Нахождение пределов интегрирования**: Чтобы найти точки пересечения графиков, приравняем функции: $x^2 = 2x + 8$ $x^2 - 2x - 8 = 0$ По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$ $x_{1,2} = \frac{2 \pm 6}{2}$ $x_1 = -2, \; x_2 = 4$ Пределы интегрирования: от $-2$ до $4$. 3. **Нахождение площади фигуры**: Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней функции и нижней на интервале $[-2, 4]$: $S = \int_{-2}^{4} (2x + 8 - x^2) dx$ $S = \left[ x^2 + 8x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{4}$ Подставим значения: $S = \left( 4^2 + 8 \cdot 4 - \frac{4^3}{3} \right) - \left( (-2)^2 + 8 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right)$ $S = \left( 16 + 32 - \frac{64}{3} \right) - \left( 4 - 16 + \frac{8}{3} \right)$ $S = \left( 48 - 21\frac{1}{3} \right) - \left( -12 + 2\frac{2}{3} \right)$ $S = 26\frac{2}{3} - (-9\frac{1}{3}) = 26\frac{2}{3} + 9\frac{1}{3} = 36$ **Ответ: 36**