5.1 Четырехугольник HKXZ вписан в окружность. Угол HKX равен 77°, угол XHZ равен 67°. Найдите угол HKZ. Ответ дайте в градусах.

Для решения задачи воспользуемся свойством вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу. 1. Угол $HKZ$ и угол $HXZ$ опираются на одну и ту же дугу $HK$. Следовательно, $\angle HKZ = \angle HXZ$. 2. Угол $HKX$ и угол $HZK$ опираются на одну и ту же дугу $HX$. Следовательно, $\angle HZK = \angle HKX = 77^\circ$. 3. Угол $KHZ$ и угол $KXZ$ опираются на одну и ту же дугу $KZ$. Следовательно, $\angle KXZ = \angle KHZ$. По условию задачи, нам нужно найти угол $HKZ$. Мы видим, что угол $HKZ$ опирается на дугу $HZ$ (если рассматривать его как угол, опирающийся на дугу $HZ$ через точку $X$, т.е. $\angle HKZ = \angle HXZ$ — это неверно, поправим). Давайте посмотрим внимательно на углы: - $\angle HKZ$ опирается на дугу $HZ$. - $\angle HXZ$ также опирается на дугу $HZ$. Следовательно, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $HZ$, равны: $$\angle HKZ = \angle HXZ$$ По условию, $\angle XHZ = 67^\circ$. Угол $XHZ$ опирается на дугу $XZ$. Угол $XK Z$ также опирается на дугу $XZ$. Значит, $\angle XKZ = \angle XHZ = 67^\circ$. Однако нам нужно найти угол $HKZ$. В четырехугольнике $HKXZ$ диагонали пересекаются. Угол $HKZ$ состоит из суммы углов $HKX + XKZ$ (нет, это неверно, $X$ и $Z$ на окружности). На самом деле, $\angle HKZ = \angle HXZ$ (опираются на $HZ$). Но нам не дан $\angle HXZ$. Нам дан $\angle XHZ = 67^\circ$. Угол $XHZ$ опирается на дугу $XZ$. На эту же дугу опирается угол $XK Z$. Значит, $\angle XKZ = 67^\circ$. Нам известен $\angle HKX = 77^\circ$. Этот угол опирается на дугу $HX$ (хорда $HX$, дуга $HZK...$ нет, дуга $HZ$ не подходит). По свойствам вписанного четырехугольника: Угол $\angle HKZ = \angle HXZ$. Угол $\angle KHZ = \angle KXZ$. Заметим, что $\angle HKZ$ — это угол, который опирается на дугу $HX$ через вершину $Z$. А $\angle HKX = 77^\circ$ опирается на дугу $HZ$ (через вершину $X$, если смотреть на рисунок, то $\angle HKX$ опирается на дугу $HZ$). Значит, $\angle HZK = \angle HKX = 77^\circ$. Угол $\angle XHZ = 67^\circ$ опирается на дугу $XZ$. На эту же дугу опирается $\angle XKZ$. Значит, $\angle XKZ = 67^\circ$. Угол $\angle HKZ = \angle HKX + \angle XKZ$ (по рисунку это так). Тогда $\angle HKZ = 77^\circ + 67^\circ = 144^\circ$. Ответ: 144