Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на подобные треугольники.

### Билет №11 1. Высота $h_c$, опущенная на гипотенузу $c$ прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, подобных исходному. Следствия (пропорциональные отрезки): - $a^2 = a_c \cdot c$ (катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу). - $h_c^2 = a_c \cdot b_c$ (высота есть среднее пропорциональное между проекциями катетов). 2. Если для трех сторон треугольника выполняется равенство $a^2 + b^2 = c^2$, то такой треугольник является прямоугольным. 3. Свойство пересекающихся хорд: $AE \cdot BE = CE \cdot DE$. Пусть $BE = x$, тогда $AE = 2x$. Подставим: $2x \cdot x = 8 \cdot 9 \Rightarrow 2x^2 = 72 \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x = 6$. Значит $BE = 6$ см, $AE = 12$ см. $AB = AE + BE = 12 + 6 = 18$ см. 4. Верные ответы: 3, 4. (1 — неверно, сумма углов $720^{\circ}$; 2 — неверно, не всегда; 5 — неверно, $108^{\circ}$). ### Билет №12 1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. 2. Подобные треугольники — это треугольники, у которых углы равны, а стороны пропорциональны. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия ($k^2$). 3. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$), угол при вершине $B = 120^{\circ}$. Тогда углы при основании $A$ и $C$ равны $(180^{\circ} - 120^{\circ})/2 = 30^{\circ}$. Высота $h$, проведенная к основанию $AC=20$, делит треугольник на два прямоугольных с углом $60^{\circ}$ и $30^{\circ}$. Половина основания равна 10 см. Высота $h = 10 \cdot \text{tg}(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см. 4. Верные ответы: 2, 4, 5. (1 — неверно, сумма углов треугольника $180^{\circ}$; 3 — неверно, неравенство треугольника: сумма двух сторон больше третьей). ### Билет №13 1. Отрезки касательных из одной точки к окружности равны и делят пополам угол между прямыми, проходящими через эту точку и центр. 2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. 3. Пусть один угол ромба $x$, другой $x+40$. $x + x + 40 = 180 \Rightarrow 2x = 140 \Rightarrow x = 70^{\circ}$ и $110^{\circ}$. В ромбе диагонали делят углы пополам. В $\triangle BOC$ (где $O$ — центр, пересечение диагоналей): $\angle OBC = 70/2 = 35^{\circ}$, $\angle OCB = 110/2 = 55^{\circ}$, $\angle BOC = 90^{\circ}$ (свойство перпендикулярности диагоналей ромба). 4. Верные ответы: 4. (1 — не всегда; 2 — неверно; 3 — неверно; 5 — не всегда).