13. Тип 13 № 1332 i

### Решение задачи 13 **а) Решим уравнение $2\cos^2 x - 3\sqrt{2}\cos x + 2 = 0$** Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Получим квадратное уравнение: $2t^2 - 3\sqrt{2}t + 2 = 0$ Найдем дискриминант: $D = (-3\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 18 - 16 = 2$ Корни уравнения: $t_1 = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $t_2 = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}$ (не подходит, так как $|\sqrt{2}| > 1$) Возвращаемся к замене: $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ **б) Найдем корни на отрезке $[-8; -4]$** Приблизительные значения $\pi \approx 3,14$. Отрезок $[-8; -4]$ находится в третьем и частично во втором квадрантах. 1. Серия $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$: $n = -1: x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} \approx -1,75 \cdot 3,14 \approx -5,495$ (входит в отрезок) 2. Серия $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$: $n = -1: x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4} \approx -2,25 \cdot 3,14 \approx -7,065$ (входит в отрезок) Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{9\pi}{4}; -\frac{7\pi}{4}$. ### Решение задачи 14 **Решим неравенство $\frac{4x^2 + 4x + 1}{2x^2 - 5x - 3} \ge 0$** 1. Разложим числитель и знаменатель на множители: Числитель: $4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2$. Знаменатель: $2x^2 - 5x - 3 = 0$. Дискриминант $D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$. Корни $x = \frac{5 \pm 7}{4}$. $x_1 = 3, x_2 = -0,5$. Знаменатель раскладывается как $2(x - 3)(x + 0,5) = (x - 3)(2x + 1)$. 2. Неравенство примет вид: $\frac{(2x + 1)^2}{(2x + 1)(x - 3)} \ge 0$ При условии $2x + 1 \ne 0$ (т.е. $x \ne -0,5$), сокращаем: $\frac{2x + 1}{x - 3} \ge 0$ 3. Метод интервалов: Корни числителя: $x = -0,5$ (не входит в ОДЗ), корень знаменателя: $x = 3$ (не входит в ОДЗ). Интервалы: $(-\infty; -0,5)$, $(-0,5; 3)$, $(3; +\infty)$. Знаки выражения $\frac{2x + 1}{x - 3}$: $(+), (-), (+)$. Так как неравенство $\ge 0$, выбираем интервалы со знаком «+». Ответ: $(-\infty; -0,5) \cup (3; +\infty)$.