Доказать теорему о вычислении площади трапеции.

### Билет №8 1. **Теорема о площади трапеции:** Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. 2. **Вписанный угол:** Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её. Измерен половиной дуги, на которую опирается. Следствия: вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны; вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой. 3. **Задача:** Периметр $P = 40$. Стороны $a=15$, $b=9$. Третья сторона $c = 40 - (15 + 9) = 16$. Биссектриса делит сторону в отношении прилежащих сторон $15:9 = 5:3$. Отрезки $x$ и $y$: $x+y=16$, $x/y=5/3 \Rightarrow x=10, y=6$. 4. **Верные ответы:** 2 (диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам), 5 (медиана к гипотенузе равна её половине). ### Билет №9 1. **Теорема Пифагора:** В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $a^2 + b^2 = c^2$. 2. **Биссектриса угла:** Луч, делящий угол пополам. Свойство: каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. 3. **Задача:** Стороны $a=6, b=7$, угол $60^\circ$. Высота $h_1 = a \cdot \sin(60^\circ) = 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3.5\sqrt{3}$. Высота $h_2 = b \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. 4. **Верные ответы:** 2 (сходственные стороны пропорциональны), 3 (определение вписанного угла), 5 (диагонали прямоугольника равны). ### Билет №10 1. **Средняя линия треугольника:** Отрезок, соединяющий середины двух сторон. Параллельна третьей стороне и равна её половине. 2. **Серединный перпендикуляр:** Прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину. Точки на нём равноудалены от концов отрезка. 3. **Задача:** $AB, BC$ - касательные, $\triangle ABO$ - прямоугольный, $OA=6$, $\angle ABC=60^\circ \Rightarrow \angle ABO=30^\circ$. $\tan(30^\circ) = \frac{OA}{AB} \Rightarrow AB = 6\sqrt{3}$. Периметр $ABCO = AB+BC+CO+OA = 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} + 6 + 6 = 12\sqrt{3} + 12$. 4. **Верные ответы:** 1 (диагонали ромба перпендикулярны), 2 (биссектрисы пересекаются в одной точке).