11. Арифметикалық прогрессияда {a12 + a10 = 44, a20 - a14 = 30} болса, онда алғашқы жиырма мүшесінің қосындысын табыңыз.

Привет! Давай разберем задачи из твоего листа. Так как задач много, я решу некоторые из них, чтобы ты понял принцип. ### Задача 11 **Условие:** $\begin{cases} a_{12} + a_{10} = 44 \\ a_{20} - a_{14} = 30 \end{cases}$, найдите сумму первых 20 членов. **Решение:** Формула $n$-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. 1. $a_{10} = a_1 + 9d$, $a_{12} = a_1 + 11d$. Сумма: $(a_1 + 9d) + (a_1 + 11d) = 2a_1 + 20d = 44 \Rightarrow a_1 + 10d = 22$. 2. $a_{14} = a_1 + 13d$, $a_{20} = a_1 + 19d$. Разность: $(a_1 + 19d) - (a_1 + 13d) = 6d = 30 \Rightarrow d = 5$. 3. Подставим $d=5$ в первое уравнение: $a_1 + 10(5) = 22 \Rightarrow a_1 = 22 - 50 = -28$. 4. Сумма $S_{20} = \frac{2a_1 + 19d}{2} \cdot 20 = (2(-28) + 19(5)) \cdot 10 = (-56 + 95) \cdot 10 = 39 \cdot 10 = 390$. **Ответ: 390.** ### Задача 12 **Условие:** Упростить выражение: $\frac{x^3 + 6x^2 + 11x + 6}{x^2 - 1}$. **Решение:** 1. Знаменатель: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. 2. Числитель $P(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6$. Корни ищем среди делителей свободного члена (6): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. При $x = -1$: $(-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0$. Значит, $(x+1)$ — множитель. 3. Делим столбиком $x^3 + 6x^2 + 11x + 6$ на $(x+1)$: $x^3 + x^2 + 5x^2 + 5x + 6x + 6 = x^2(x+1) + 5x(x+1) + 6(x+1) = (x+1)(x^2 + 5x + 6)$. 4. $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$. 5. Итого дробь: $\frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x+2)(x+3)}{x-1} = \frac{x^2 + 5x + 6}{x-1}$ (при $x \neq -1, 1$). **Ответ: $\frac{x^2 + 5x + 6}{x-1}$.** ### Задача 17 **Условие:** Решите уравнение: $\frac{2x - 7}{x - 4} - \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{x + 6}{x^2 - 3x - 4}$. **Решение:** 1. ОДЗ: $x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$; $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. 2. Заметим: $x^2 - 3x - 4 = (x-4)(x+1)$. 3. Приведем к общему знаменателю $(x-4)(x+1)$: $(2x-7)(x+1) - (x+2)(x-4) = x+6$ $(2x^2 + 2x - 7x - 7) - (x^2 - 4x + 2x - 8) = x + 6$ $(2x^2 - 5x - 7) - (x^2 - 2x - 8) = x + 6$ $x^2 - 3x + 1 = x + 6$ $x^2 - 4x - 5 = 0$ 4. По теореме Виета корни: $x_1 = 5, x_2 = -1$. 5. Так как $x \neq -1$ (по ОДЗ), остается только $x = 5$. **Ответ: 5.**