В прямом параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB=1$, $BC=7\sqrt{3}$. $\angle ABC=150^\circ$. Через диагональ $AC$ и вершину $B_1$ проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол в $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Question

Вопрос:

В прямом параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB=1$, $BC=7\sqrt{3}$. $\angle ABC=150^\circ$. Через диагональ $AC$ и вершину $B_1$ проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол в $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

$В прямом параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB=1$, $BC=7\sqrt{3}$. $\angle ABC=150^\circ$. Через диагональ $AC$ и вершину $B_1$ проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол в $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Дано: прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. $AB=1$, $BC=7\sqrt{3}$, $\angle ABC=150^\circ$. Сечение проходит через $AC$ и $B_1$, образуя с основанием угол $\alpha = 60^\circ$. Найти площадь боковой поверхности $S_{бок}$. 1. **Найдем диагональ основания $AC$** по теореме косинусов в $\triangle ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(150^\circ)$ $AC^2 = 1^2 + (7\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 1 \cdot 7\sqrt{3} \cdot (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ $AC^2 = 1 + 147 + 21 = 169$ $AC = 13$. 2. **Найдем высоту параллелепипеда $BB_1 = H$.** Проведем высоту $BH_1$ в $\triangle ABB_1$ (или, точнее, опустим перпендикуляр из $B$ на прямую $AC$ в основании, пусть это $BH_0$ — высота треугольника $ABC$). Площадь $\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(150^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{4}$. С другой стороны, площадь $\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH_0$, где $BH_0$ — высота треугольника к стороне $AC$. $\frac{1}{2} \cdot 13 \cdot BH_0 = \frac{7\sqrt{3}}{4} \Rightarrow BH_0 = \frac{7\sqrt{3}}{26}$. Рассмотрим линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения ($AB_1C$) и основанием. Так как параллелепипед прямой, $BB_1 \perp$ плоскости основания. $BH_0$ — перпендикуляр из $B$ на $AC$ (линия пересечения плоскостей). Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах, $B_1H_0 \perp AC$. Угол между плоскостями — это угол $\angle B_1H_0B = 60^\circ$. В прямоугольном $\triangle BB_1H_0$: $\tan(60^\circ) = \frac{BB_1}{BH_0} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{H}{BH_0}$ $H = BH_0 \cdot \sqrt{3} = \frac{7\sqrt{3}}{26} \cdot \sqrt{3} = \frac{7 \cdot 3}{26} = \frac{21}{26}$. 3. **Найдем площадь боковой поверхности.** $P_{осн} = 2(AB + BC) = 2(1 + 7\sqrt{3}) = 2 + 14\sqrt{3}$. $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (2 + 14\sqrt{3}) \cdot \frac{21}{26} = (1 + 7\sqrt{3}) \cdot \frac{21}{13} = \frac{21 + 147\sqrt{3}}{13} = \frac{21}{13} + \frac{147\sqrt{3}}{13}$. **Ответ:** $\frac{21 + 147\sqrt{3}}{13}$.

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения