В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ACB (∠ C = 90°), AC = 4, BC = 3. Через сторону AC и вершину B1 проведена плоскость; ∠ B1AC = 60°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

1. Найдем гипотенузу основания $AB$ по теореме Пифагора для треугольника $ACB$: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$. 2. Рассмотрим сечение, проходящее через $AC$ и $B_1$. Так как призма прямая, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания. Значит, треугольник $B_1CB$ — прямоугольный ($\angle B_1CB = 90^\circ$). 3. В треугольнике $B_1AB$ угол $\angle B_1AB = 60^\circ$ (по условию). Этот треугольник прямоугольный ($\angle B_1BA = 90^\circ$), так как $BB_1$ — высота призмы. Найдем высоту призмы $BB_1$: $BB_1 = AB \cdot \tan(\angle B_1AB) = 5 \cdot \tan(60^\circ) = 5\sqrt{3}$. 4. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту: $P_{осн} = AC + BC + AB = 4 + 3 + 5 = 12$. $S_{бок} = P_{осн} \cdot BB_1 = 12 \cdot 5\sqrt{3} = 60\sqrt{3}$. **Ответ: $60\sqrt{3}$**