В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 1, BC = 7sqrt(3). L ABC = 150°. Через диагональ AC и вершину B1 проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол в 60°. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Для решения задачи выполним следующие шаги: 1. **Найдем длину диагонали $AC$ основания $ABCD$**. По теореме косинусов для треугольника $ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$ $AC^2 = 1^2 + (7\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 1 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \cos(150^\circ)$ Так как $\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $AC^2 = 1 + 147 - 14\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 148 + 7 \cdot 3 = 148 + 21 = 169$ $AC = \sqrt{169} = 13$. 2. **Найдем высоту $BB_1$ (обозначим $h$)**. Плоскость проходит через $AC$ и $B_1$. Пусть $BH$ — высота треугольника $ABC$, опущенная на $AC$. Тогда $B_1H$ — наклонная к плоскости основания, $BH$ — проекция, а $BB_1 \perp BH$ (так как $BB_1$ — боковое ребро прямого параллелепипеда, перпендикулярное плоскости основания). Угол между плоскостью сечения ($AB_1C$) и основанием — это угол $\angle B_1HB = 60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $BB_1H$: $\tan(60^\circ) = \frac{BB_1}{BH}$, откуда $BB_1 = BH \cdot \sqrt{3}$. Найдем высоту $BH$ треугольника $ABC$ через площадь $S_{ABC}$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(150^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{4}$. Также $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot BH$. Приравниваем: $\frac{1}{2} \cdot 13 \cdot BH = \frac{7\sqrt{3}}{4} \implies BH = \frac{7\sqrt{3}}{26}$. Тогда высота параллелепипеда $h = BB_1 = \frac{7\sqrt{3}}{26} \cdot \sqrt{3} = \frac{7 \cdot 3}{26} = \frac{21}{26}$. 3. **Найдем площадь боковой поверхности**. $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где периметр $P_{осн} = 2(AB + BC) = 2(1 + 7\sqrt{3}) = 2 + 14\sqrt{3}$. $S_{бок} = (2 + 14\sqrt{3}) \cdot \frac{21}{26} = \frac{2(1 + 7\sqrt{3}) \cdot 21}{26} = \frac{(1 + 7\sqrt{3}) \cdot 21}{13} = \frac{21 + 147\sqrt{3}}{13}$. **Ответ:** $\frac{21 + 147\sqrt{3}}{13}$