В прямом параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB = 1$, $BC = 7\sqrt{3}$. $\angle ABC = 150^{\circ}$. Через диагональ $AC$ и вершину $B_1$ проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол в $60^{\circ}$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади боковой поверхности прямого параллелепипеда: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $H$ — высота параллелепипеда. 1. Найдем диагональ основания $AC$ по теореме косинусов для $\triangle ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$ Так как $\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $AC^2 = 1^2 + (7\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 1 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ $AC^2 = 1 + 147 + 21 = 169 \Rightarrow AC = 13$. 2. Найдем высоту $BK$ треугольника $ABC$, опущенную к стороне $AC$. Площадь основания $S_{ABC}$ можно вычислить двумя способами: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(150^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{4}$ $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot BK = \frac{13}{2} BK$ Приравняем площади: $\frac{13}{2} BK = \frac{7\sqrt{3}}{4} \Rightarrow BK = \frac{7\sqrt{3}}{26}$. 3. Угол между плоскостью $(AB_1C)$ и плоскостью основания — это угол $\angle B_1KB = 60^\circ$ (по теореме о трех перпендикулярах). Найдем высоту $H = BB_1$: $H = BK \cdot \tan(60^\circ) = \frac{7\sqrt{3}}{26} \cdot \sqrt{3} = \frac{21}{26}$. 4. Найдем периметр основания $P_{осн}$ и площадь боковой поверхности: $P_{осн} = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (1 + 7\sqrt{3}) = 2 + 14\sqrt{3}$ $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (2 + 14\sqrt{3}) \cdot \frac{21}{26} = (1 + 7\sqrt{3}) \cdot \frac{21}{13} = \frac{21 + 147\sqrt{3}}{13}$. **Ответ:** $\frac{21 + 147\sqrt{3}}{13}$