В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ACB (∠ C = 90°), AC = 4, BC = 3. Через сторону AC и вершину B1 проведена плоскость; ∠ B1AC = 60°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Для решения задачи выполним следующие шаги: 1. **Анализ условия:** - В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник $ACB$ ($\angle C = 90^\circ$), $AC = 4$, $BC = 3$. - По теореме Пифагора для основания $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$. - Через сторону $AC$ и вершину $B_1$ проведена плоскость. Так как $B_1$ — вершина верхнего основания, а $AC$ — сторона нижнего, то отрезок $B_1B$ перпендикулярен плоскости нижнего основания (свойство прямой призмы). - Следовательно, треугольник $B_1CB$ прямоугольный ($\angle B_1BC = 90^\circ$), и так как $BC \perp AC$ (по условию $\angle C = 90^\circ$), то по теореме о трех перпендикулярах $B_1C \perp AC$. Значит, треугольник $B_1AC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $C$. 2. **Нахождение высоты призмы:** - В прямоугольном треугольнике $B_1AC$ угол $\angle B_1AC = 60^\circ$, катет $AC = 4$. - $B_1C = AC \cdot \tan(60^\circ) = 4 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$. - Поскольку $B_1C$ — гипотенуза в прямоугольном треугольнике $B_1BC$ (где $BB_1 = H$ — высота призмы), то $H^2 + BC^2 = B_1C^2$. - $H^2 + 3^2 = (4\sqrt{3})^2$ - $H^2 + 9 = 16 \cdot 3$ - $H^2 = 48 - 9 = 39$ - $H = \sqrt{39}$. 3. **Вычисление площади боковой поверхности ($S_{бок}$):** - Формула площади боковой поверхности прямой призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания. - $P_{осн} = AB + BC + AC = 5 + 3 + 4 = 12$. - $S_{бок} = 12 \cdot \sqrt{39} = 12\sqrt{39}$. **Ответ:** $12\sqrt{39}$