1. CE – биссектриса треугольника АВС. Прямая BD перпендикулярна плоскости треугольника. Найдите угол между прямыми CE и BD.

1. Угол между прямыми CE и BD. Прямая BD перпендикулярна плоскости треугольника. Это значит, что она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая прямую CE. **Ответ: $90^\circ$** 2. Найдите MH. Прямые MP и HO перпендикулярны плоскости, значит они параллельны друг другу. Из этого следует, что точки M, P, O, H лежат в одной плоскости. Образуется трапеция MHOP с основаниями MP и HO. Опустим перпендикуляр MT из точки M на прямую HO. Тогда MPOТ — прямоугольник, и $MT = PO = 5$ дм, $PT = MP = 12$ дм. $HT = HO - PT = 24 - 12 = 12$ дм. Рассмотрим прямоугольный треугольник MTH. По теореме Пифагора: $MH^2 = MT^2 + HT^2$ $MH^2 = 5^2 + 12^2$ $MH^2 = 25 + 144$ $MH^2 = 169$ $MH = \sqrt{169}$ $MH = 13$ дм **Ответ: 13 дм** 3. Расстояние от точки M до прямой AB и расстояние от точки B до плоскости ACM. Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, $AC = 18$ см, $CM = 12$ см. Прямая CM перпендикулярна плоскости $\triangle ABC$. а) Расстояние от точки M до прямой AB. Поскольку $CM \perp ABC$, то $CM \perp AB$. Проведем $CK \perp AB$ в плоскости $\triangle ABC$. Тогда по теореме о трех перпендикулярах $MK \perp AB$. Расстояние от M до AB равно MK. В прямоугольном $\triangle ABC$: $BC = AC \cdot \tan(\angle A) = 18 \cdot \tan(30^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см $AB = \frac{AC}{\cos(\angle A)} = \frac{18}{\cos(30^\circ)} = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3}$ см Площадь $\triangle ABC$: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 6\sqrt{3} = 54\sqrt{3}$ см$^2$. Также $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CK$. Отсюда $CK = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot 54\sqrt{3}}{12\sqrt{3}} = 9$ см. Теперь рассмотрим прямоугольный $\triangle CKM$. По теореме Пифагора: $MK^2 = CM^2 + CK^2$ $MK^2 = 12^2 + 9^2$ $MK^2 = 144 + 81$ $MK^2 = 225$ $MK = \sqrt{225} = 15$ см. б) Расстояние от точки B до плоскости ACM. Плоскость ACM содержит прямую CM, которая перпендикулярна плоскости ABC. Значит, плоскость ACM перпендикулярна плоскости ABC. Расстояние от точки B до плоскости ACM — это перпендикуляр, опущенный из B на плоскость ACM. Поскольку плоскости перпендикулярны, это расстояние равно перпендикуляру, опущенному из B на линию пересечения плоскостей, то есть на прямую AC. В $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, прямая BC перпендикулярна AC. Значит, BC является искомым расстоянием. $BC = AC \cdot \tan(\angle A) = 18 \cdot \tan(30^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см. **Ответ: а) 15 см; б) $6\sqrt{3}$ см**