Вычислить: 1) 2 sin 75° * cos 75°; 2) cos² 75° - sin² 75°; 3) (6 tg 75°) / (1 - tg² 75°); 4) (tg² 22°30' - 1) / (tg 22°30')

Для решения этих примеров воспользуемся формулами двойного аргумента: $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$ $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha$ $\frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} = \operatorname{tg} 2\alpha$ 1) $2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ = \sin (2 \cdot 75^\circ) = \sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} = 0,5$ 2) $\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ = \cos (2 \cdot 75^\circ) = \cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ 3) $\frac{6 \operatorname{tg} 75^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 75^\circ} = 3 \cdot \frac{2 \operatorname{tg} 75^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 75^\circ} = 3 \operatorname{tg} (2 \cdot 75^\circ) = 3 \operatorname{tg} 150^\circ = 3 \operatorname{tg} (180^\circ - 30^\circ) = -3 \operatorname{tg} 30^\circ = -3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3}$ 4) $\frac{\operatorname{tg}^2 22^\circ 30' - 1}{\operatorname{tg} 22^\circ 30'} = -\frac{1 - \operatorname{tg}^2 22^\circ 30'}{\operatorname{tg} 22^\circ 30'} = -2 \cdot \frac{1 - \operatorname{tg}^2 22^\circ 30'}{2 \operatorname{tg} 22^\circ 30'} = -\frac{2}{\operatorname{tg} (2 \cdot 22^\circ 30')} = -\frac{2}{\operatorname{tg} 45^\circ} = -\frac{2}{1} = -2$ **Ответ:** 1) 0,5; 2) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$; 3) $-\sqrt{3}$; 4) -2.