Вычислите значение выражения: (cos² 75° - sin² 75°) / ((tg² 22° 30' - 1) / tg 22° 30')

Для решения этого примера воспользуемся тригонометрическими формулами двойного угла: 1. $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha$ 2. $\frac{1 - \text{tg}^2 \alpha}{\text{tg} \alpha} = \frac{2}{\text{tg} 2\alpha}$, следовательно $\frac{\text{tg}^2 \alpha - 1}{\text{tg} \alpha} = -\frac{2}{\text{tg} 2\alpha}$ **Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$** Решение: 1) Упростим числитель: $$\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ = \cos(2 \cdot 75^\circ) = \cos 150^\circ$$ $$\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 2) Упростим знаменатель: $$\frac{\text{tg}^2 22^\circ 30' - 1}{\text{tg} 22^\circ 30'} = -\frac{2}{\text{tg}(2 \cdot 22^\circ 30')} = -\frac{2}{\text{tg} 45^\circ}$$ Так как $\text{tg} 45^\circ = 1$, получаем: $$- \frac{2}{1} = -2$$ 3) Разделим числитель на знаменатель: $$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-2} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$$