Вычислите: 27.3. а) 2 sin 15° cos 15°; б) (cos 75° - sin 75°)²; ...

27.3. а) **Ответ: 0,5** Используем формулу синуса двойного угла: $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$. $2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin 30^\circ = 0,5$ б) **Ответ: 0,5** Раскроем квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. $(\cos 75^\circ - \sin 75^\circ)^2 = \cos^2 75^\circ - 2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ + \sin^2 75^\circ = (\cos^2 75^\circ + \sin^2 75^\circ) - \sin(2 \cdot 75^\circ) = 1 - \sin 150^\circ = 1 - 0,5 = 0,5$ в) **Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$** Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha$. $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ г) **Ответ: 1,5** Раскроем квадрат суммы: $(\cos 15^\circ + \sin 15^\circ)^2 = \cos^2 15^\circ + 2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ + \sin^2 15^\circ = 1 + \sin 30^\circ = 1 + 0,5 = 1,5$ 27.4. а) **Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$** $2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ б) **Ответ: $\frac{\sqrt{2}+1}{4}$** $\sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot (2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}) + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2}+1}{4}$ в) **Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$** $\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ г) **Ответ: 0** $\frac{\sqrt{2}}{2} - (\cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8})^2 = \frac{\sqrt{2}}{2} - (1 + \sin \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = -1$ 27.5. а) **Ответ: $-\sqrt{3}$** Используем формулу тангенса двойного угла: $\frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} = \operatorname{tg} 2\alpha$. $\frac{\operatorname{tg} 75^circ}{1 - \operatorname{tg}^2 75^\circ} = \frac{1}{2} \cdot \operatorname{tg} 150^\circ = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{6}$ б) **Ответ: $\sqrt{3}$** $\frac{2 \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12}}{\operatorname{tg}^2 \frac{5\pi}{12} - 1} = - \frac{2 \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{5\pi}{12}} = -\operatorname{tg}(2 \cdot \frac{5\pi}{12}) = -\operatorname{tg} \frac{5\pi}{6} = -(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 27.6. а) **Ответ: $-2 \sin t$** $\frac{\sin 2t - 2 \sin t}{\cos t - 1} = \frac{2 \sin t \cos t - 2 \sin t}{\cos t - 1} = \frac{2 \sin t (\cos t - 1)}{\cos t - 1} = 2 \sin t$ б) **Ответ: $-2$** $\frac{\cos 2t - \cos^2 t}{1 - \cos^2 t} = \frac{2 \cos^2 t - 1 - \cos^2 t}{\sin^2 t} = \frac{\cos^2 t - 1}{\sin^2 t} = \frac{-\sin^2 t}{\sin^2 t} = -1$ в) **Ответ: $\cos 2t$** $\sin 2t \operatorname{ctg} t - 1 = 2 \sin t \cos t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} - 1 = 2 \cos^2 t - 1 = \cos 2t$ г) **Ответ: $-2 \sin 2t$** Используем $2 \cos^2 \alpha - 2 \sin^2 \alpha = 2(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 2 \cos 2\alpha$. $2 \cos^2 (\frac{\pi}{4} + t) - 2 \sin^2 (\frac{\pi}{4} + t) = 2 \cos(2(\frac{\pi}{4} + t)) = 2 \cos(\frac{\pi}{2} + 2t) = 2(-\sin 2t) = -2 \sin 2t$ 27.7. а) **Ответ: $\sin 2t$** $\frac{2}{\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t} = \frac{2}{\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}} = \frac{2}{\frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cos t}} = 2 \sin t \cos t = \sin 2t$ б) **Ответ: $-\operatorname{tg} 2t$** $\frac{2}{\operatorname{tg} t - \operatorname{ctg} t} = \frac{2}{\frac{\sin t}{\cos t} - \frac{\cos t}{\sin t}} = \frac{2 \sin t \cos t}{\sin^2 t - \cos^2 t} = \frac{\sin 2t}{-\cos 2t} = -\operatorname{tg} 2t$ в) **Ответ: $\cos 2t$** $(1 - \operatorname{tg}^2 t) \cos^2 t = (1 - \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}) \cos^2 t = \cos^2 t - \sin^2 t = \cos 2t$ г) **Ответ: $2 \sec t$ (или $\frac{2}{\cos t}$)** $(\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t) \sin 2t = (\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}) \cdot 2 \sin t \cos t = \frac{1}{\sin t \cos t} \cdot 2 \sin t \cos t = 2$