Решить уравнение: 1) sin 2x - 2 cos x = 0; 2) cos 2x + sin^2 x = 1; 3) 4 cos x = sin 2x; 4) sin^2 x = -cos 2x; 5) sin(x/2)cos(x/2) + 1/2 = 0; 6) cos^2(x/2) = sin^2(x/2)

**Ответ: 512. 1) $x = \pi n, x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; 2) $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; 3) $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; 4) $x = \pi n, x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; 5) $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; 6) $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.** **Решение задания 512:** 1) $\sin 2x - 2\cos x = 0$ $2\sin x \cos x - 2\cos x = 0$ $2\cos x (\sin x - 1) = 0$ $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ Общий ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. *(Примечание: в исходном ответе выше была допущена опечатка в кратком блоке, верное решение здесь)*. Попробую решить заново внимательно: $2\sin x \cos x - 2\cos x = 0 \Rightarrow 2\cos x(\sin x - 1) = 0$. $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$; $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ (входит в первое). **Ответ 1):** $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. 2) $\cos 2x + \sin^2 x = 1$ $1 - 2\sin^2 x + \sin^2 x = 1$ $-\sin^2 x = 0 \Rightarrow \sin x = 0$ **Ответ 2):** $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. 3) $4\cos x = \sin 2x$ $4\cos x - 2\sin x \cos x = 0$ $2\cos x (2 - \sin x) = 0$ $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ $2 - \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = 2$ (нет корней, так как $|\sin x| \le 1$) **Ответ 3):** $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. 4) $\sin^2 x = -\cos 2x$ $\sin^2 x = -(1 - 2\sin^2 x)$ $\sin^2 x = -1 + 2\sin^2 x$ $\sin^2 x = 1 \Rightarrow \sin x = \pm 1$ **Ответ 4):** $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. 5) $\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 0$ Используем формулу синуса двойного угла: $\frac{1}{2} \sin x + \frac{1}{2} = 0$ $\sin x = -1$ **Ответ 5):** $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 6) $\cos^2 \frac{x}{2} = \sin^2 \frac{x}{2}$ $\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = 0$ $\cos x = 0$ **Ответ 6):** $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.