а) Решите уравнение 2sin^2(x/2 - π/4) * sin^2(x/2 + π/4) = cos^4 x.

а) Решим уравнение: $2\sin^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \cdot \sin^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \cos^4 x$ Используем формулу синуса разности и суммы: $\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \sin^2\frac{x}{2} \cos^2\frac{\pi}{4} - \cos^2\frac{x}{2} \sin^2\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}(\sin^2\frac{x}{2} - \cos^2\frac{x}{2}) = -\frac{1}{2}\cos x$ Возведем в квадрат: $\sin^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \sin^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{4}\cos^2 x$ Подставим в исходное уравнение: $2 \cdot \frac{1}{4}\cos^2 x = \cos^4 x$ $\frac{1}{2}\cos^2 x = \cos^4 x$ $\cos^2 x (\cos^2 x - \frac{1}{2}) = 0$ 1) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $\cos^2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos 2x = 0 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$ б) Найдем корни на отрезке $[-3\pi; -2\pi]$. Корни вида $\frac{\pi}{2} + \pi k$: $-3\pi \le \frac{\pi}{2} + \pi k \le -2\pi \Rightarrow -3.5 \le k \le -2.5 \Rightarrow k = -3 \Rightarrow x = -2.5\pi = -\frac{5\pi}{2}$. Корни вида $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$: $-3\pi \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \le -2\pi \Rightarrow -3.25 \le \frac{n}{2} \le -2.25 \Rightarrow -6.5 \le n \le -4.5 \Rightarrow n = -6, -5$. $n = -6 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} - 3\pi = -2.75\pi = -\frac{11\pi}{4}$. $n = -5 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} - 2.5\pi = -2.25\pi = -\frac{9\pi}{4}$. Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, k, n \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi}{4}, -\frac{5\pi}{2}, -\frac{9\pi}{4}$.