Дано уравнение 2cos²x + 2sin2x = 3. а) Решите данное уравнение. б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку [-3π/2; -π/2]

**Ответ:** а) $x = \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n, x = \frac{\pi}{4} + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{3\pi}{4}; \operatorname{arctg} \frac{1}{3} - \pi$. **Решение:** а) Перепишем уравнение, используя формулы двойного аргумента и основное тригонометрическое тождество: $2\cos^2 x + 2 \cdot 2 \sin x \cos x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$ $2\cos^2 x + 4 \sin x \cos x = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x$ $3\sin^2 x - 4 \sin x \cos x + \cos^2 x = 0$ Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части на $\cos^2 x$ (при условии $\cos x \neq 0$, так как если $\cos x = 0$, то $\sin x = 0$, что невозможно одновременно): $3\operatorname{tg}^2 x - 4\operatorname{tg} x + 1 = 0$ Пусть $\operatorname{tg} x = t$, тогда: $3t^2 - 4t + 1 = 0$ $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$ $t_1 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3} \Rightarrow \operatorname{tg} x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ $t_2 = \frac{4 + 2}{6} = 1 \Rightarrow \operatorname{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) Отбор корней на промежутке $\left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}\right]$: 1. Для $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$: При $k = -1: x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$ (входит в промежуток). При $k = 0$ или $k = -2$ корни выходят за границы. 2. Для $x = \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n$: Так как $0 < \operatorname{arctg} \frac{1}{3} < \frac{\pi}{4}$, то при $n = -1$ получаем $x = \operatorname{arctg} \frac{1}{3} - \pi$. Поскольку $-\pi < \operatorname{arctg} \frac{1}{3} - \pi < -\frac{3\pi}{4}$, корень входит в промежуток.