Дан куб ABCDA1B1C1D1 объема 27. Укажите неверное утверждение.

1. **Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ объема 27.** Объем куба $V = a^3 = 27$, значит ребро $a = 3$. а) Расстояние от $AB_1$ до плоскости $DD_1C_1C$ равно ребру $AD = 3$. Верно. б) Прямая $BC$ параллельна $AD$, а $AD \perp AB_1$ не всегда. Проверим: $BC \perp (ABB_1A_1)$, значит $BC$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая $AB_1$. Верно. в) $\angle B_1AD$ — это угол в прямоугольном треугольнике $B_1AD$. Так как $B_1A \perp AD$ (из-за $AD \perp$ грани $ABB_1A_1$), то $\angle B_1AD = 90^\circ$. Утверждение $45^\circ$ — неверно. г) Угол между $AB_1$ и $BB_1C_1C$ — это угол $\angle AB_1B$. В равнобедренном прямоугольном $\triangle AB_1B$ он равен $45^\circ$. Верно. **Ответ: в** 2. **Найдите площадь треугольника $BDC$.** В $\triangle ABD$ (прямоугольный, $\angle ADB = 90^\circ$): $AD = AC \cdot \sin(60^\circ)$ не подходит. Используем $AC=8$ из $\triangle ACD$: $AD = AC \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$. $CD = AC \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$. В $\triangle ABD$: $BD = AD$ (так как $\angle ABD = 45^\circ$, $\triangle$ равнобедренный), $BD = 4\sqrt{3}$. $S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 = 8\sqrt{3}$. **Ответ: б** 3. **Найдите периметр прямоугольника $ABCD$.** $PA \perp (ABC)$. Пусть $AB=x, AD=y$. $PB^2 = PA^2 + AB^2 \Rightarrow 5^2 = PA^2 + x^2 \Rightarrow 25 = PA^2 + x^2$. $PC^2 = PA^2 + AC^2 = PA^2 + x^2 + y^2 \Rightarrow 13^2 = 25 + y^2 \Rightarrow 169 - 25 = y^2 \Rightarrow y = 12$ ($AD$). Линейный угол между $(BPC)$ и $(ABC)$ — это $\angle PBA$ (так как $BC \perp AB$ и $BC \perp PB$ по ТТП). $\angle PBA = 60^\circ$. В $\triangle PAB$: $AB = PB \cdot \cos(60^\circ) = 5 \cdot 0,5 = 2,5$. $P = 2(AB + AD) = 2(2,5 + 12) = 29$. **Ответ: 29** 4. **Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $\beta$.** Система: $\begin{cases} AC + BC = 14 \\ AC - BC = 2 \end{cases} \Rightarrow 2AC = 16 \Rightarrow AC = 8, BC = 6$. Расстояние $d = AC \cdot \sin(\angle (AB, \beta))$. Это неверно, так как $\beta$ проходит через $BC$. Пусть $h$ — искомое расстояние. $\sin(30^\circ) = \frac{h}{AB}$. $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$. $h = 10 \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot 0,5 = 5$. **Ответ: 5** 5. **Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.** Сторона основания $a = 32$. Высота боковой грани (апофема) $L$. Угол наклона грани $\alpha$: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Тогда $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{5}{9})} = \frac{2}{3}$. В $\triangle$, образованном высотой пирамиды, апофемой $L$ и отрезком $a/2 = 16$: $\cos \alpha = \frac{16}{L} \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{16}{L} \Rightarrow L = 24$. $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot L = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 32) \cdot 24 = 64 \cdot 24 = 1536$. **Ответ: 1536**