1. Дан куб ABCDA1B1C1D1 площади поверхности 96. Укажите неверное утверждение.

1. **Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, площадь поверхности $S = 96$.** Площадь одной грани: $96 / 6 = 16$. Ребро куба $a = \sqrt{16} = 4$. а) Расстояние от прямой $DC_1$ до плоскости $AA_1B_1B$ равно ребру $AD = 4$. (Верно) б) Прямая $BC \parallel AD$, а $AD \perp DC_1$ (так как $AD \perp CDD_1C_1$). Значит, $BC \perp DC_1$. (Верно) в) Угол между $DC_1$ и плоскостью $AA_1C_1C$: проекция $DC_1$ на эту плоскость — $OC_1$ (где $O$ — центр грани $ABCD$). В прямоугольном $\triangle D C_1 O$: $\sin \angle (DC_1, OC_1) = \frac{DO}{DC_1} = \frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$. Угол равен $30^{\circ}$. (Верно) г) Плоскость $ADC_1$ совпадает с $ABC_1D_1$. Угол между $ABC_1D_1$ и $AA_1B_1B$ равен углу между $AB$ и $AB$ (линия пересечения) и перпендикулярами $B_1A$ и $C_1B$ к ней. Это угол в $45^{\circ}$ только если грани квадраты. Угол между плоскостями $ADC_1$ и $AA_1B_1B$ — это угол $\angle D_1 A A_1 = 45^{\circ}$ (неверно, так как $D_1A$ лежит в плоскости $AA_1D_1D$, которая перпендикулярна $AA_1B_1B$). Правильный ответ: **г**. 2. **Решение:** 1) В $\triangle ABD$ ($\angle D = 90^{\circ}$): $AD = AB \cdot \sin 30^{\circ} = 12 \cdot 0,5 = 6$. $BD = AB \cdot \cos 30^{\circ} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$. 2) Так как $AB = AC$, то их проекции $BD = CD = 6\sqrt{3}$. 3) В $\triangle BDC$ по теореме косинусов: $BC^2 = BD^2 + CD^2 - 2 BD \cdot CD \cdot \cos 150^{\circ} = (6\sqrt{3})^2 + (6\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 108 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 216 + 108\sqrt{3}$. 4) $S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CD \cdot \sin 150^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{108}{4} = 27$. **Ответ: г) 27**. 3. **Решение:** 1) $PB \perp (ABC)$, значит $PB \perp AB$ и $PB \perp BC$. По теореме о трех перпендикулярах: так как $AB \perp AD$, то $PA \perp AD$. Значит, расстояние от $P$ до $AD$ — это $PA = 10$. 2) Из $\triangle PBA$: $AB = \sqrt{PA^2 - PB^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$. Значит, $DC = AB = 6$. 3) Из $\triangle PBD$: $BD = \sqrt{PD^2 - PB^2} = \sqrt{(6\sqrt{5})^2 - 8^2} = \sqrt{180 - 64} = \sqrt{116}$. 4) В прямоугольном $\triangle BCD$: $BC = \sqrt{BD^2 - DC^2} = \sqrt{116 - 36} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$. 5) Расстояние от $P$ до $DC$: так как $BC \perp DC$, то по ТТП $PC \perp DC$. Расстояние — это гипотенуза $PC$. 6) Из $\triangle PBC$: $PC = \sqrt{PB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + (4\sqrt{5})^2} = \sqrt{64 + 80} = \sqrt{144} = 12$. **Ответ: 12**. 4. **Решение:** 1) В $\triangle ABC$: $BC = \sqrt{20^2 + 15^2} = 25$. Высота $AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{20 \cdot 15}{25} = 12$. 2) Пусть $AK$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$. Тогда $\angle AHK$ — угол между плоскостями, $\angle AHK = 30^{\circ}$. 3) В $\triangle AKH$: $AK = AH \cdot \sin 30^{\circ} = 12 \cdot 0,5 = 6$. **Ответ: 6**. 5. **Решение:** 1) Пусть все ребра равны $a$. Проведем апофемы $SM$ и высоту $SO$. В $\triangle SOM$ ($\angle O = 90^{\circ}$): $SM$ — высота боковой грани, $SM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, $OM = \frac{a}{2}$. 2) $\cos \phi = \frac{OM}{SM} = \frac{a/2}{a\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. 3) $\phi = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{3}) \approx 54,7^{\circ}$. Двугранный угол при основании равен этому значению. **Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{3})$**.