Из вершины A прямоугольного треугольника ABC (угол C = 90 градусов, угол B = 60 градусов) восстановлен перпендикуляр к плоскости ABC и на нем взят отрезок AM = h. Точка M соединена с точкой B и C. Найти площадь треугольника MBC, если двугранный угол ABCM равен 30 градусов.

**Ответ: $S_{\triangle MBC} = \frac{2h^2}{\sqrt{3}}$** **Решение:** 1. Рассмотрим $\triangle ABC$: $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 60^\circ$. Тогда $\angle A = 30^\circ$. Поскольку $AM \perp (ABC)$, то $AM \perp AC$. Так как $AC \perp BC$ (по условию), то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $MC \perp BC$. Значит, $\angle MCA$ — линейный угол двугранного угла при ребре $BC$. По условию $\angle MCA = 30^\circ$. 2. Из $\triangle MAC$ (прямоугольный, $\angle MAC = 90^\circ$): $AC = \frac{AM}{\operatorname{tg} 30^\circ} = \frac{h}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = h\sqrt{3}$. $MC = \frac{AM}{\sin 30^\circ} = \frac{h}{\frac{1}{2}} = 2h$. 3. Из $\triangle ABC$ (прямоугольный): $\operatorname{tg} B = \frac{AC}{BC} \Rightarrow BC = \frac{AC}{\operatorname{tg} 60^\circ} = \frac{h\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = h$. 4. Площадь $\triangle MBC$ (он прямоугольный, так как $MC \perp BC$): $S_{\triangle MBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MC = \frac{1}{2} \cdot h \cdot 2h = h^2$. **Допущение:** В условии указано «двугранный угол ABCM равен 30 градусов». В контексте данной задачи это трактуется как угол между плоскостями $(ABC)$ и $(MBC)$, так как ребро $BC$ является общим для треугольников основания и боковой грани.