144. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 30°. На катете AC отметили такую точку E, что ∠BEC = 60°. Найдите AC, если EC = 8 см.

Question

Вопрос:

144. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 30°. На катете AC отметили такую точку E, что ∠BEC = 60°. Найдите AC, если EC = 8 см.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: 12 см** 1. Рассмотрим треугольник $BEC$. Он прямоугольный (так как $\angle C = 90^\circ$), и по условию $\angle BEC = 60^\circ$. Найдём второй острый угол этого треугольника: $$\angle EBC = 90^\circ - \angle BEC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$ 2. Рассмотрим исходный треугольник $ABC$. Он также прямоугольный с $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 30^\circ$. Найдём его угол $B$: $$\angle ABC = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$ 3. Теперь найдём $\angle ABE$: $$\angle ABE = \angle ABC - \angle EBC = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$$ 4. В треугольнике $ABE$ мы видим, что $\angle A = 30^\circ$ и $\angle ABE = 30^\circ$. Так как углы при основании равны, треугольник $ABE$ — равнобедренный, и $AE = BE$. 5. Вернёмся к треугольнику $BEC$. Катет $EC$ лежит против угла $\angle EBC = 30^\circ$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы: $$EC = \frac{1}{2} BE \implies BE = 2 \cdot EC = 2 \cdot 8 = 16 \text{ см}$$ 6. Так как $AE = BE$, то $AE = 16$ см. 7. Находим сторону $AC$: $$AC = AE + EC = 16 + 8 = 24 \text{ см}$$

144. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 30°. На катете AC отметили такую точку E, что ∠BEC = 60°. Найдите AC, если EC = 8 см.

Ответ ассистента

Другие решения