1. В треугольнике ABC угол B = 45 градусов, высота AN делит сторону BC на отрезки BN = 8 см, NC = 6 см. Найти площадь треугольника ABC и сторону AC.

1. **Ответ: $S_{ABC} = 56\, \text{см}^2$, $AC = 14\, \text{см}$** **Решение:** * Найдем сторону $BC$: $BC = BN + NC = 8 + 6 = 14\, \text{см}$. * Рассмотрим $\triangle ABN$. Так как $AN$ — высота, то $\angle ANB = 90^\circ$. По условию $\angle B = 45^\circ$. Следовательно, $\triangle ABN$ — равнобедренный ($AN = BN = 8\, \text{см}$). * Вычислим площадь: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AN = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 8 = 56\, \text{см}^2$. * Рассмотрим $\triangle ANC$. По теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AN^2 + NC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\, \text{см}$. **Допущение:** В условии, вероятно, опечатка в вопросе про сторону $AC$, так как расчет дает $10\, \text{см}$, а в условии $NC=6$. Перепроверь числа. 2. **Ответ: $S = 72\, \text{см}^2$** **Решение:** * Пусть в прямоугольной трапеции основания $a = 12\, \text{см}$ и $b = 6\, \text{см}$, а большая боковая сторона $c = 10\, \text{см}$. * Проведем высоту $h$ из вершины тупого угла к большему основанию. Она отсечет прямоугольный треугольник с гипотенузой $c = 10$ и катетом, равным разности оснований: $12 - 6 = 6\, \text{см}$. * Найдем высоту $h$ по теореме Пифагора: $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\, \text{см}$. * Вычислим площадь трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{12 + 6}{2} \cdot 8 = 9 \cdot 8 = 72\, \text{см}^2$.