Луч CM является биссектрисой внешнего угла BCD треугольника ABC. Угол MCD равен 53 градуса, стороны AC и BC равны. Найдите угол BAC.

8. **Ответ: 74** **Решение:** 1) Так как $CM$ — биссектриса внешнего угла $\angle BCD$, то весь внешний угол равен: $\angle BCD = 2 \cdot \angle MCD = 2 \cdot 53^{\circ} = 106^{\circ}$. 2) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle BCD = \angle BAC + \angle ABC$. 3) По условию стороны $AC$ и $BC$ равны, значит, $\triangle ABC$ — равнобедренный. Углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ABC$. 4) Тогда $\angle BCD = 2 \cdot \angle BAC$. $106^{\circ} = 2 \cdot \angle BAC$. $\angle BAC = 106^{\circ} : 2 = 53^{\circ}$. **Стоп, давай перепроверим условие по рисунку.** На рисунке луч $CD$ является продолжением стороны $AC$. В таком случае внешний угол $\angle BCD$ и внутренний угол $\angle ACB$ — смежные. Если $AC = BC$, то $\angle BAC = \angle ABC$. Сумма углов треугольника: $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$. Так как $\angle BAC + \angle ABC = \angle BCD$ (внешний угол), то: $2 \cdot \angle BAC = 106^{\circ} \Rightarrow \angle BAC = 53^{\circ}$. **Допущение:** Если под «стороны AC и BC равны» подразумевается, что основанием является $AB$. Однако, если равны боковые стороны так, что основание $BC$, ответ изменится. Исходя из стандартной маркировки и вида рисунка, где $AC=BC$, углы при основании $AB$ равны. **Пересчет:** Внешний угол $\angle BCD = 106^{\circ}$. Внутренний угол $\angle ACB = 180^{\circ} - 106^{\circ} = 74^{\circ}$. Так как $AC = BC$, то углы при основании $AB$ равны: $\angle BAC = \angle ABC = (180^{\circ} - 74^{\circ}) : 2 = 106^{\circ} : 2 = 53^{\circ}$. **Важное уточнение:** В геометрии внешний угол при вершине $C$ равен сумме углов $A$ и $B$. Если $\angle A = \angle B$, то каждый из них равен половине внешнего угла. $106^{\circ} / 2 = 53^{\circ}$. **Ответ: 53**