Луч CM является биссектрисой внешнего угла BCD треугольника ABC. Угол MCD равен 54, стороны AC и BC равны. Найдите угол BAC.

**Ответ: 72** **Решение:** 1. Так как $CM$ — биссектриса внешнего угла $\angle BCD$, то весь внешний угол равен: $\angle BCD = 2 \cdot \angle MCD = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ$. 2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle BCD = \angle BAC + \angle ABC$. 3. По условию стороны $AC$ и $BC$ равны ($AC = BC$), значит, треугольник $ABC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ABC$. 4. Следовательно: $108^\circ = \angle BAC + \angle BAC = 2 \cdot \angle BAC$, $\angle BAC = 108^\circ : 2 = 54^\circ$. **Допущение:** В тексте задачи указано, что $AC = BC$. Однако, исходя из чертежа и типичных задач такого рода, если $\angle BAC = 54^\circ$, то сумма углов треугольника должна быть $180^\circ$. Угол $\angle BCA = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$. Тогда $\angle BAC + \angle ABC = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$. Если $AC = BC$ — это боковые стороны, то основание $AB$, и $\angle BAC = \angle ABC = 54^\circ$. Если же на чертеже опечатка и равны стороны, образующие угол при вершине $C$, расчет будет иным. Но строго по тексту: **54**. *Перепроверка:* Если $AC = BC$, то углы при основании $AB$ равны. Внешний угол $108^\circ$ равен их сумме. $108 / 2 = 54$.