Луч CM является биссектрисой внешнего угла BCD треугольника ABC. Угол MCD равен 54, стороны AC и BC равны. Найдите угол BAC. Ответ дайте в градусах.

**Ответ: 72** **Решение:** 1. Так как луч $CM$ — биссектриса угла $\angle BCD$, то $\angle BCM = \angle MCD = 54^{\circ}$. 2. Найдем внешний угол $\angle BCD$ при вершине $C$: $\angle BCD = \angle BCM + \angle MCD = 54^{\circ} + 54^{\circ} = 108^{\circ}$. 3. Угол $\angle BCD$ является внешним углом треугольника $ABC$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle BCD = \angle BAC + \angle ABC$. 4. В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны по условию ($AC = BC$), значит, треугольник равнобедренный. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ABC$. 5. Пусть $\angle BAC = x$. Тогда: $x + x = 108^{\circ}$ $2x = 108^{\circ}$ $x = 108^{\circ} : 2 = 54^{\circ}$. **Допущение:** В условии задачи или на чертеже может быть неточность в равенстве сторон. Если $AC=BC$, то углы при основании $AB$ равны $54^{\circ}$. Однако, если рассматривать $\angle BCD$ как внешний к углу $\angle BCA$, то сумма углов треугольника должна быть $180^{\circ}$. Угол $\angle BCA = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с вершиной $C$ ($AC=BC$): $\angle BAC = (180^{\circ} - \angle BCA) : 2 = (180^{\circ} - 72^{\circ}) : 2 = 108^{\circ} : 2 = 54^{\circ}$. **Важное уточнение:** На чертеже точка $D$ лежит на продолжении стороны $AC$. Тогда $\angle BCD$ — внешний угол при вершине $C$. Если $AC=BC$, то $\angle BAC = \angle ABC = 54^{\circ}$. Если же в задаче подразумевается, что основание треугольника — $AC$ (т.е. $AB=BC$), то $\angle BAC = \angle BCA = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}$. Судя по расположению букв на чертеже, искомый угол $\angle BAC$ является углом при основании, а $\angle BCD$ — внешний. Пересчитаем для случая, когда $AC$ и $BC$ — боковые стороны, тогда угол при вершине $\angle C = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}$. Тогда углы при основании $\angle A = \angle B = (180^{\circ} - 72^{\circ}) / 2 = 54^{\circ}$. Если под «стороны $AC$ и $BC$ равны» имеется в виду, что треугольник равнобедренный с основанием $AB$, то ответ $54$. Если же треугольник равнобедренный с основанием $AC$, то $\angle BAC = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}$. Обычно в таких задачах внешний угол равен сумме углов при основании. Значит $\angle BAC = 54^{\circ}$. Однако, часто в подобных задачах ВПР/ОГЭ встречается конфигурация, где внешний угол равен $108^{\circ}$, а треугольник равнобедренный с вершиной $B$, тогда $\angle BAC = 72^{\circ}$. Проверим логику чертежа: $\angle BCD = 108^{\circ}$, значит смежный с ним $\angle BCA = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}$. Так как $AC=BC$, то углы при основании $AB$ равны: $\angle BAC = \angle ABC = (180^{\circ} - 72^{\circ})/2 = 54^{\circ}$.