Луч CM является биссектрисой внешнего угла BCD треугольника ABC. Угол MCD равен 52°, стороны AC и BC равны. Найдите угол BAC.

**Ответ: 76°** **Решение:** 1. Угол $BCD$ является внешним углом треугольника $ABC$. По условию, луч $CM$ — его биссектриса, а угол $MCD = 52^{\circ}$. Значит, весь внешний угол $BCD = 2 \cdot \angle MCD = 2 \cdot 52^{\circ} = 104^{\circ}$. 2. Смежный с ним внутренний угол треугольника $\angle ACB = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ}$. 3. Так как по условию стороны $AC$ и $BC$ равны, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle BAC = \angle ABC$. 4. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. На два равных угла при основании приходится: $180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. 5. Тогда $\angle BAC = 104^{\circ} : 2 = 52^{\circ}$. **Внимание:** В ходе решения замечено, что по свойству внешнего угла треугольника, внешний угол $BCD$ равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним ($\angle BAC + \angle ABC$). Так как $\angle BAC = \angle ABC$, то $\angle BCD = 2 \cdot \angle BAC$. Отсюда $104^{\circ} = 2 \cdot \angle BAC$, следовательно $\angle BAC = 52^{\circ}$. Однако, если перепроверить чертеж и условие: если $\angle MCD = 52^{\circ}$, то и $\angle BCM = 52^{\circ}$ (биссектриса). Внешний угол $104^{\circ}$. Сумма внутренних $\angle A + \angle B = 104^{\circ}$. Если $AC=BC$, то $\angle A = \angle B = 52^{\circ}$. **Ответ: 52**