№ 1. Через сторону AB, равную 20 см, квадрата ABCD проведена плоскость α так, что точка C находится от неё на расстоянии 10 см. а) На каком расстоянии от плоскости α находится точка пересечения диагоналей квадрата? б) Найдите угол φ, который диагональ квадрата образует с плоскостью α.

**Ответ: а) 5 см; б) $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$** **Решение:** **а)** Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$. Так как диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, точка $O$ является серединой отрезка $AC$. Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Точка $A$ лежит на прямой $AB$, которая принадлежит плоскости $\alpha$, значит расстояние от $A$ до $\alpha$ равно $0$. Расстояние от $C$ до $\alpha$ по условию равно $10$ см. Рассмотрим трапецию (или треугольник в проекции), образованную перпендикулярами из точек $A, O, C$ на плоскость $\alpha$. Так как $O$ — середина $AC$, то расстояние от $O$ до плоскости $\alpha$ равно средней линии этой конструкции: $d_O = \frac{d_A + d_C}{2} = \frac{0 + 10}{2} = 5$ см. **б)** Угол $\phi$ между прямой (диагональю $AC$) и плоскостью $\alpha$ — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. В прямоугольном треугольнике, образованном наклонной $AC$, её проекцией и перпендикуляром из точки $C$ к плоскости (длина которого $10$ см): $\sin \phi = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{10}{AC}$. Найдем диагональ квадрата $AC$ по формуле $a\sqrt{2}$, где $a = 20$ см: $AC = 20\sqrt{2}$ см. $\sin \phi = \frac{10}{20\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$. **Задание № 2** **Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{3}$ см** **Допущение:** В тексте изображения указан ответ $4\sqrt{3}/2$ (что равно $2\sqrt{3}$), однако при расчете по стандартным формулам стереометрии результат иной. Решим задачу пошагово. 1. Расстояние от точки $M$ до стороны — это длина апофемы (наклонной) $MH$, где $H$ — середина стороны треугольника. 2. По теореме о трех перпендикулярах $MH^2 = OM^2 + OH^2$, где $OH$ — радиус вписанной окружности правильного треугольника. 3. Вычислим $OH$ для стороны $a=4$: $OH = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см. 4. Найдем $MH$: $MH = \sqrt{2^2 + \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{4 + \frac{12}{9}} = \sqrt{4 + \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.